Como usar
Decomponha o vetor original u em uma parte p ao longo do vetor de referência v e um resto perpendicular r. Escolha 2D para x e y, ou 3D quando z também for necessário. Ambos devem usar o mesmo sistema de coordenadas e unidades compatíveis. A ordem importa: u é projetado, v determina a direção. Isso permite verificar geometria, movimento direcional e componentes sem normalizar v antes.
Substitua os valores de exemplo pelos seus dados, escolha a comparação ou dimensão quando disponível e pressione Calcular. Enter envia o mesmo formulário. O resultado só é confirmado após essa ação. Editar um número ou alterar uma seleção remove a resposta anterior e desativa Copiar resultado, evitando confundir uma resposta antiga com a atual. Limpar esvazia os campos numéricos e mantém o modo escolhido. Depois do cálculo, Copiar resultado inclui a entrada e a saída numérica como texto simples. Se o navegador bloquear a área de transferência, selecione o texto visível. Os valores claros formam um exemplo executável. O primeiro foco em um campo numérico limpa todos os exemplos uma vez. Suas entradas seguintes são preservadas. Prévia da entrada: calcule para confirmar o resultado.
Método e interpretação
A fórmula é p = (u · v)/(v · v) v e r = u − p. Equivalentemente, normalize v para obter a direção unitária d, calcule o escalar com sinal s = u · d e use p = sd. Essa é a forma implementada. O escalar não é sempre o comprimento não negativo da projeção: o comprimento é |s|. Em aritmética exata, r · v = 0, portanto o resto é perpendicular à referência.
A saída mostra projeção, componente escalar, resto, produto escalar residual e erro relativo de ortogonalidade. O erro relativo ajuda com vetores grandes, quando o produto absoluto isolado pode enganar. No diagrama, u e v partem da origem, p segue a reta de referência e r vai da ponta de p à ponta de u, tornando visível p + r = u. Linhas contínuas e tracejadas e rótulos distinguem os vetores sem depender apenas de cor.
Exemplos
Exemplo 1: em 2D, u = (3, 4) e v = (1, 0) dão p = (3, 0), s = 3, r = (0, 4) e r · v = 0. A mesma escala nos eixos preserva o ângulo reto entre a referência horizontal e o resto vertical.
Exemplo 2: em 3D, u = (2, −1, 3) e v = (0, 0, −2) dão p = (0, 0, 3), s = −3 e r = (2, −1, 0). O escalar negativo indica que p aponta no sentido oposto a v, embora seu comprimento seja 3. O produto escalar da verificação é zero.
Limites e solução de erros
Apenas duas ou três componentes reais são aceitas. v não pode ser nulo, mas u pode. Use ponto decimal. Valores são zero ou têm módulo de 1e−12 a 1e12. Saídas comuns têm até duas casas; valores pequenos não nulos mantêm mais dígitos. Os cálculos usam valores sem arredondar. A figura 3D é uma projeção paralela sobre (x − 0.6z, y − 0.4z): ângulos e comprimentos são distorcidos e pontos diferentes podem se sobrepor. Confira a perpendicularidade pelo produto escalar, não pelo ângulo aparente. A cópia contém valores, não uma imagem.
Use no máximo 15 algarismos significativos na entrada.
Perguntas frequentes
Multiplicar v por um número positivo muda p?
Não. Muda o comprimento de v, mas não sua reta nem a projeção.
E se eu inverter v?
O escalar troca de sinal, mas p e r permanecem iguais.
A projeção pode ser zero?
Sim. Se u for perpendicular a v, p é nulo e todo u se torna o resto.
Por que z desapareceu?
O modo 2D oculta e ignora z. Voltar a 3D restaura o campo e exige calcular novamente.