Como usar
- Insira as coordenadas x, y e z de P.
- Insira a, b, c, d de ax + by + cz + d = 0. Passe todos os termos para o lado esquerdo primeiro.
- Calcule e compare P com H, o ponto mais próximo do plano, no desenho.
Use a mesma unidade de comprimento em todas as coordenadas. Trocar o nome da unidade não converte os números. Notações como 1e-4 são aceitas, mas expressões algébricas não.
O desenho é atualizado assim que as entradas descrevem uma geometria válida. Se faltar um valor ou ele for inválido, o desenho fica oculto até os dados estarem prontos. Editar apaga o resultado numérico anterior e desativa a cópia. Clique em Calcular para confirmar os valores e copiá-los como texto. Limpar apaga os números e mantém as seleções.
Fórmula e interpretação
O caminho mais curto é perpendicular ao plano e paralelo à normal n = (a, b, c). O valor absoluto da expressão do plano em P, dividido pelo comprimento da normal, fornece uma distância não negativa. H é o ponto do plano mais próximo de P.
D = |aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d| / √(a² + b² + c²). H = P − [(aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d)/(a² + b² + c²)](a,b,c).
Exemplo resolvido
Para P = (2, 3, 7) e z − 2 = 0, use a = 0, b = 0, c = 1, d = −2. H = (2, 3, 2), e a distância é 5 unidades. O segmento tracejado une P a H.
Para P = (1, 2, 3) e o plano inclinado x + 2y + 2z − 3 = 0, o numerador vale 8 e o comprimento da normal 3. A distância é 8/3 ≈ 2,67 unidades e H = (1/9, 2/9, 11/9). As coordenadas exibidas são arredondadas; a substituição precisa exige os valores sem arredondar.
Usos e limites
Para exercícios de geometria e afastamento de superfícies planas ideais. Não é a distância a uma face triangular limitada: H pode ficar fora dessa face.
Os cálculos usam ponto flutuante. Resultados comuns mostram até duas casas decimais; valores pequenos não nulos usam notação científica. As equações mostram até 12 algarismos significativos e podem ser aproximadas. Entradas: zero ou valores absolutos de 10⁻⁹ a 10⁹; resultados limitados a 10¹⁵.
O desenho é uma projeção ortográfica ajustada à geometria. Nem todos os ângulos e comprimentos são preservados na tela. Os pequenos eixos indicam orientação, não a posição da origem. Consulte as coordenadas e medidas nos resultados.
Perguntas frequentes
Por que a distância é zero?
P já está no plano. P e H coincidem e o segmento perpendicular tem comprimento zero.
Multiplicar os coeficientes altera a resposta?
Multiplicar os quatro pelo mesmo fator não nulo mantém o plano e a distância. Alterar somente um costuma mudar o plano.
Por que a normal nula é rejeitada?
Com a = b = c = 0, uma expressão constante não define um plano único. Use pelo menos uma componente não nula.
Como usar os números copiados?
Cole em anotações ou exercícios para conferir o cálculo e mantenha a unidade e as entradas originais. Coordenadas arredondadas não substituem valores simbólicos exatos. Se o cálculo for rejeitado por precisão, translade ou mude a escala das coordenadas. Um resultado vazio não significa zero.