Calculadora de diagonalização de matrizes
Encontre P, D e P⁻¹ de uma matriz real 2×2 e confira A = PDP⁻¹.
Resultado
Calcule para ver o resultado.
Como usar
- Informe as quatro entradas por linha. O exemplo [4, 1; 0, 2] funciona imediatamente.
- Calcule a base de autovetores P e a diagonal D correspondente. Leia P por colunas.
- Confira a reconstrução e os resíduos. A cópia inclui matrizes e verificações. Editar invalida o resultado anterior.
Exemplo resolvido
Para A = [4, 1; 0, 2], os autovalores são 4 e 2. Uma opção é P = [1, −1/√5; 0, 2/√5] e D = [4, 0; 0, 2]. O produto PDP⁻¹ recupera A.
Limites e interpretação
Aceita matrizes reais 2×2 simétricas e não simétricas. Classifica o discriminante exatamente para os decimais aceitos e calcula P e P⁻¹ em ponto flutuante. Reutilizar os valores arredondados pode aumentar os resíduos. Os erros relativos usam a norma infinito. Não exibe a decomposição se κ∞(P) exceder 10⁸ ou algum erro de verificação exceder 10⁻⁸.
Perguntas frequentes
Um autovalor repetido sempre impede a diagonalização?
Não. Para λI, usa-se P = I. Uma matriz 2×2 não escalar com autovalor repetido não é diagonalizável. Experimente [2, 1; 0, 2].
Por que outra resposta pode ter uma P diferente?
Autovetores podem mudar de escala, sinal e ordem. D deve acompanhar a ordem das colunas de P.
Aceita matrizes 3×3 ou complexas?
Não. Discriminante negativo impede a diagonalização real. Pode existir uma decomposição complexa, mas ela não é calculada aqui.