Naar de inhoud

Binomium uitwerken

Voer a, b en n in om (ax + b)ⁿ uit te werken tot een standaardveelterm in x. Negatieve b-waarden geven de juiste afwisselende tekens.

Voer (ax + b)ⁿ in

Verwerkt in je browser.

Coëfficiënt van x in ax + b; voer een eindig getal in.

Constante term in ax + b; gebruik een negatief getal voor aftrekken.

Een geheel getal van 0 tot en met 20.

Uitgewerkt binomium

Voer de coëfficiënten in en kies Berekenen.

(ax + b)ⁿ uitwerken

Deze calculator past de eindige binomiale stelling toe op een lineaire tweeterm in x. Deze geeft één uitgewerkte veelterm en de aflopende coëfficiëntenlijst zonder een algemene uitdrukking te ontleden.

  1. Voer a in, de coëfficiënt bij x. Voor x + 3 gebruik je a = 1; voor −x + 3 a = −1.
  2. Voer b in, de constante term. Gebruik b = −3 om een verschil zoals (2x − 3)⁴ uit te werken.
  3. Voer n als geheel getal van 0 tot en met 20 in en kies Berekenen.
  4. Controleer de getoonde brontweeterm en uitwerking. Kopieer zo nodig de gelabelde veelterm; een gewijzigd veld wist het vorige resultaat.

De gebruikte eindige binomiale stelling

Voor een niet-negatief geheel getal n is (ax + b)ⁿ de som van k = 0 tot n van C(n,k)(ax)ⁿ⁻ᵏbᵏ. De binomiaalcoëfficiënt C(n,k), ‘n boven k’, levert het bekende patroon van de driehoek van Pascal. De macht van x begint bij n en daalt per term met één, terwijl de macht van b stijgt van nul tot n.

Na invullen van a en b is de coëfficiënt van xⁿ⁻ᵏ gelijk aan C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ. De calculator berekent alle n + 1 posities, verwerkt nulposities in standaardnotatie en toont ook de volledige aflopende lijst. Deze ontleedt of vermenigvuldigt geen getypte uitdrukking herhaaldelijk.

Uitgewerkte voorbeelden met positieve en negatieve constanten

Voor (2x − 3)⁴ wordt rij 1, 4, 6, 4, 1 gecombineerd met machten van 2 en −3. De uitwerking is 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81 en de aflopende lijst 16, -96, 216, -216, 81. Oneven machten van een negatieve b geven negatieve termen; even machten positieve.

Voor (x + 1)³ geven coëfficiënten 1, 3, 3, 1 de uitwerking x³ + 3x² + 3x + 1. Coëfficiënten 1 worden gewoon als x³ of x getoond, niet 1x³ of 1x; −1 verschijnt met een minteken. De coëfficiëntenlijst bevat nog steeds de numerieke enen.

Nulcoëfficiënten en exponent nul

De grens n = 0 geeft 1, ook als a of b nul is, volgens de eindige veeltermconventie van deze tool. Bij a = 0 en positieve n resteert de constante bⁿ. Bij b = 0 en positieve n blijft alleen de leidende term aⁿxⁿ over. Middentermen met waarde nul verdwijnen uit de leesbare veelterm, maar behouden hun posities in de lijst.

Zo blijven machten en tekens compact zonder het verband tussen invoer en uitvoer te verliezen. Het voorkomt ook dat een ontbrekende term als verschoven macht wordt gezien, belangrijk wanneer je de lijst naar de veeltermcalculator kopieert.

Ondersteund bereik, precisie en uitgesloten uitwerkingen

De exponent moet een geheel getal van 0 tot en met 20 zijn. a en b moeten eindige getallen zijn. Gehele invoer wordt alleen binnen het exacte veilige bereik geaccepteerd; het antwoord wordt geweigerd als een gehele coëfficiënt erbuiten komt. Decimale coëfficiënten gebruiken browserrekenkunde en maximaal twee getoonde decimalen; betekenisvolle kleinere niet-nulle coëfficiënten gebruiken wetenschappelijke notatie. Gebruik kleinere a of b als het resultaat het ondersteunde eindige of exacte bereik overschrijdt.

De tool werkt alleen (ax + b)ⁿ uit in de ene variabele x. Negatieve of gebroken exponenten, meerdere variabelen, geneste uitdrukkingen, algemene formulereeksen, oneindige binomiale reeksen, ontbinden, nulpunten en grafieken vallen erbuiten. Zo blijft invoer voorspelbaar en elke term rechtstreeks verbonden met de vermelde stelling.

Veelgestelde vragen

Hoe voer ik (ax − b)ⁿ in?

Voer de tweede term negatief in. Gebruik voor (2x − 3)⁴ a = 2, b = −3 en n = 4.

Waarom zijn er maximaal n + 1 coëfficiëntposities?

De eindige stelling heeft één term voor elke k van 0 tot en met n. Sommige getoonde termen verdwijnen als hun coëfficiënt nul is.

Wat gebeurt er als n nul is?

De calculator geeft 1. Dit is de grens n = 0 van de eindige stelling voor veeltermuitwerking.

Mag n negatief of een breuk zijn?

Nee. Die gevallen vereisen een oneindige reeks of andere definities en vallen buiten deze eindige uitwerkingstool.

Waarom werd grote invoer geweigerd?

Minstens één coëfficiënt was niet eindig of een geheel getal kon niet meer exact worden weergegeven. Verklein a, b of n en bereken opnieuw.