벡터 정사영 계산기

사용 방법

원래 벡터 u를 기준 벡터 v 방향의 성분 p와 수직인 나머지 r로 분해해요. x·y만 필요하면 2차원, z도 필요하면 3차원을 고르세요. 두 벡터는 같은 좌표계와 호환 단위를 사용해야 해요. u는 투영할 벡터, v는 목표 방향이므로 순서가 중요해요. v를 미리 단위벡터로 만들 필요 없이 기하 문제, 방향 운동과 성분 확인에 활용할 수 있어요.

예시값을 원하는 값으로 바꾸고, 비교 연산이나 차원을 선택할 수 있다면 선택한 뒤 계산을 누르세요. Enter를 눌러도 같은 양식이 제출돼요. 이 동작을 해야 결과가 확정돼요. 숫자나 선택 항목을 바꾸면 이전 결과가 사라지고 결과 복사가 비활성화되어 이전 답과 혼동하지 않아요. 지우기는 선택한 모드를 유지하면서 숫자 입력란을 비워요. 계산 후 결과 복사를 누르면 입력값과 계산 결과를 일반 텍스트로 복사해요. 클립보드 접근이 차단되면 화면의 텍스트를 선택하세요. 연한 값은 실행 가능한 예시예요. 숫자 입력란을 처음 선택하면 모든 예시 숫자가 한 번 지워지고 이후 입력값은 유지돼요. 입력 미리보기는 계산을 눌러 확정하세요.

계산 원리와 결과 읽기

공식은 p = (u · v)/(v · v) v, r = u − p예요. 동등하게 v를 단위 방향 d로 정규화하고 부호 있는 스칼라 s = u · d를 구해 p = sd로 계산할 수 있어요. 구현은 이 단위 방향 방식을 써요. 스칼라는 부호가 있으며 항상 음이 아닌 투영 길이는 아니에요. 투영 길이는 |s|예요. 정확한 산술에서는 r · v = 0이므로 나머지 성분이 기준 방향에 수직이에요.

정사영 벡터, 스칼라 성분, 잔차 벡터, 잔차 내적과 상대 직교 오차를 보여 줘요. 벡터가 크면 절대 내적만으로는 오해할 수 있어 작은 상대 오차를 보는 것이 유용해요. 그림은 같은 원점의 u·v, 기준선 위 p, p 끝에서 u 끝으로 이어지는 r을 그려 p + r = u를 머리·꼬리 연결로 보여 줘요. 색뿐 아니라 실선·파선과 이름표로 구분해요.

예시

예시 1: 2차원에서 u = (3, 4), v = (1, 0)이면 p = (3, 0), s = 3, r = (0, 4), r · v = 0이에요. 두 축의 축척이 같아 수평 기준과 수직 잔차가 직각으로 보여요.

예시 2: 3차원에서 u = (2, −1, 3), v = (0, 0, −2)이면 정사영은 (0, 0, 3), s = −3, 잔차는 (2, −1, 0)이에요. 음의 스칼라는 p가 v의 반대 방향이라는 뜻이며 정사영 길이는 3이에요. 내적 확인값은 0이에요.

제한 사항과 문제 해결

실수 성분 2개나 3개만 지원해요. v는 영벡터일 수 없고 u는 가능해요. 소수점은 쉼표 대신 점을 쓰세요. 값은 0 또는 절댓값 1e−12~1e12예요. 보통 소수 둘째 자리까지, 작은 0 아닌 결과는 유효 자릿수를 더 유지해요. 계산에는 반올림 전 값을 사용해요. 3차원 그림은 화면 좌표 (x − 0.6z, y − 0.4z)로 평행 투영하므로 각도·길이가 왜곡되고 다른 점이 겹칠 수 있어요. 수직 여부는 화면 각도가 아닌 내적으로 확인하세요. 복사에는 이미지가 아닌 값이 들어가요.

입력은 유효숫자 15자리까지 사용하세요.

자주 묻는 질문