내분점 계산기 사용법
알고 있는 관계 선택
두 끝점 A·B를 알고 그 사이의 P를 구하려면 내분점을 선택하세요. 양의 비율을 AP:PB = m:n으로 입력하세요. 기본 비율 1:1은 중점이에요. 2:1이면 AP가 PB의 두 배이므로 P는 A에서 B로 가는 길의 2/3 지점에 놓여요.
끝점 A와 중점 P를 알면 다른 끝점 모드를 쓰세요. 이 모드의 두 번째 좌표쌍은 B가 아닌 중점이며 비율 입력은 필요 없어요. P를 기준으로 A를 대칭 이동해 B를 구해요. 두 모드는 같은 선분 관계를 다루지만 끝점을 중점으로 잘못 넣지 않도록 이름이 바뀌어요.
내분점 공식
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), AP:PB = m:n일 때 내분점은 P((n·x₁ + m·x₂)/(m+n), (n·y₁ + m·y₂)/(m+n))예요. 가중평균이에요. AP가 커질수록 P가 B에 가까워지므로 m을 B에 곱하고, 반대쪽에서도 같은 이유로 n을 A에 곱해요.
비율의 두 값은 모두 0보다 커야 해요. 그래야 서로 다른 끝점 사이에 P가 놓여요. m과 n에 같은 양수를 곱해도 위치는 바뀌지 않으므로 2:4와 1:2는 같은 위치예요.
중점과 끝점 공식
중점은 평균 P = ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2)예요. 미지 좌표를 각각 풀면 xB = 2xP − xA, yB = 2yP − yA예요. 입력값을 대입해 보여 주므로 P에 대한 대칭을 확인할 수 있어요.
도식에 A·P·B를 표시하고 세 점이 화면에 들어가도록 축척을 맞춰요. 물리적 단위 대신 순서와 일직선 관계를 보여 줘요. 결과를 텍스트로 복사할 수 있고, 모드나 입력을 바꾸면 이전 결과는 즉시 무효가 돼요.
풀이 예시
2:1 내분점
A(2, 4), B(8, 10), AP:PB = 2:1이면 P = ((1·2 + 2·8)/3, (1·4 + 2·10)/3) = (6, 8)이에요. 더 긴 AP 부분에 맞게 P는 B에 더 가까워요.
1:1 비율의 중점
A(−4, 2), B(6, 8)이면 P = ((−4+6)/2, (2+8)/2) = (1, 5)예요. 두 비율값이 같으면 일반적인 중점이 나와요.
다른 끝점 찾기
A(−3, 4)와 중점 P(2, 1)을 알면 B = (2·2−(−3), 2·1−4) = (7, −2)예요. A와 B의 평균을 구하면 P(2, 1)이 나와요.
활용, 한계와 출력
활용 방법
해석기하, 선분의 정해진 비율 지점 배치, 중점 풀이 확인, 간단한 보간이나 빠진 끝점 찾기에 사용하세요. 같은 좌표계를 사용하면 음수·소수 좌표도 가능해요.
지원 범위
비율 모드는 양수 내분만 지원해요. 0이나 음수는 끝점·외분·다른 규약을 나타내므로 받지 않아요. 외분점, 삼각형의 중심, 여러 선분의 경로나 일반 기하 작도는 계산하지 않아요.
끝점은 서로 달라야 해요. A와 B가 같으면 방향과 의미 있는 AP:PB 분할이 정해지지 않아요. 다른 끝점 모드에서 A와 중점 P가 같으면 B도 같은 점이 돼요. 유한 범위를 벗어나는 극단적인 결과는 받지 않아요.
자주 묻는 질문
m은 어느 선분을 뜻하나요?
AP:PB = m:n에서 AP 부분이에요. 가중평균 공식에서는 B에 곱해요.
2:1이면 P가 B에 가까워지는 이유는?
AP가 PB의 두 배라 A에서 P까지 더 멀리 가므로 P가 B 쪽에 가까워요.
0:1이나 음수 비율을 입력할 수 있나요?
아니요. 양수 내분만 지원해요. 0과 음수는 경계나 외분을 나타내요.
중점은 어떻게 구하나요?
내분점 모드에서 기본 비율 1:1을 유지하세요.
찾은 끝점을 어떻게 검증하나요?
A와 계산된 B를 좌표별로 평균 내세요. 입력한 중점 P와 같아야 해요.