이차방정식 풀이 방법
방정식을 일반형으로 정리하기
이 계산기는 실수 계수로 된 ax² + bx + c = 0을 풉니다. 입력칸은 방정식 안에 배치되어 있으며 a는 x²의 계수, b는 x의 계수, c는 상수항입니다. a는 0일 수 없습니다. x항이나 상수항이 없으면 빈칸으로 두지 말고 0을 입력하세요. 계수가 적히지 않은 x²의 계수는 1이고 −x²의 계수는 −1입니다.
우변이 0이라는 것은 모든 항을 좌변으로 옮겼다는 뜻입니다. 양변에서 같은 항을 빼도 해는 달라지지 않습니다. 예를 들어 x² + 2x = 3 → x² + 2x − 3 = 0이므로 a = 1, b = 2, c = −3을 입력합니다.
부호를 포함한 수 입력 및 계산
세 입력칸에는 음수 부호를 포함한 숫자만 입력하세요. 칸 사이의 더하기 기호는 부호가 있는 항을 연결하므로 음수 b를 더하는 것은 그 절댓값을 빼는 것과 같습니다. 모든 언어에서 0.5나 2.5e-6처럼 소수점을 사용하세요. 계산을 선택하거나 Enter를 누르면 방정식과 실근이 표시됩니다. 계수를 변경하면 이전 답은 즉시 지워집니다. 지우기를 선택하면 입력, 오류, 결과를 모두 비우고 다시 시작할 수 있습니다.
판별식·근·꼭짓점형
ax² + bx + c = 0의 판별식은 Δ = b² − 4ac입니다. 판별식이 양수이면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근 하나를 가지며 음수이면 실근이 없습니다. 근의 공식은 x = (−b ± √Δ)/(2a)입니다. 이 페이지는 Δ가 음수일 때 ‘실근 없음’으로 표시하며 복소수 근은 계산하지 않습니다.
꼭짓점형은 y = a(x − h)² + k이며 h = −b/(2a), k = −Δ/(4a)입니다. y = ax² + bx + c와 같은 이차함수를 나타냅니다. 꼭짓점은 (h, k)이고 대칭축은 x = h입니다. 계산기 내부에서는 근의 공식과 동치인 수치적으로 안정된 식을 사용하여, 거의 같은 두 수를 뺄 때 매우 작은 유효한 근이 사라질 가능성을 줄입니다.
풀이 예시
이차방정식: x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6을 입력합니다. Δ = 25 − 24 = 1이므로 근은 2와 3입니다. 꼭짓점형은 y = (x − 2.5)² − 0.25입니다.
중근: x² − 6x + 9 = 0
a = 1, b = −6, c = 9를 입력합니다. 판별식은 36 − 36 = 0이므로 유일한 근 x = 3이 중복됩니다. 꼭짓점형은 y = (x − 3)² + 0입니다. 대입하면 9 − 18 + 9 = 0입니다.
실근 없음: x² + 1 = 0
a = 1, b = 0, c = 1을 입력합니다. Δ = −4이므로 실근이 없습니다. 복소수 근은 계산 범위에 포함되지 않습니다.
결과 활용과 제한 이해하기
정밀도 해석과 오류 처리
일반적인 결과는 소수점 이하 최대 두 자리로 표시하고 끝의 0은 생략합니다. 매우 작지만 0이 아닌 값과 매우 큰 값은 0으로 보이거나 숫자가 지나치게 길어지지 않도록 과학적 표기법으로 표시합니다. 표시 형식을 적용하기 전까지는 브라우저의 전체 수치 정밀도를 유지합니다. 유한소수로 정확히 표현되는 경우를 제외하면 표시된 소수는 근삿값입니다.
단위, 천 단위 구분 기호, 분수, 수식 없이 숫자만 입력하세요. 0이 아닌 계수의 절댓값은 1e-150부터 1e150까지여야 합니다. 빈칸은 0으로 처리하지 않습니다. 결과가 지원 범위를 벗어나면 계수 사이의 크기 차이를 줄이거나 적절한 공통 배율로 방정식을 다시 표현하세요. 매우 가까운 근은 부동소수점 반올림에 민감할 수 있습니다. 이 도구는 수치 계산기이며 정확한 기호 연산 풀이기는 아닙니다.
결과를 사용하기 전에 확인할 사항
답이 채점이나 다른 계산에 영향을 준다면 각 근을 원래 방정식에 대입해 확인하세요. 소수 계수와 무리수 근은 근사적으로 표현되므로 작은 잔차가 생길 수 있습니다. 이후 계산에는 반올림된 중간값 대신 원래 계수를 사용하세요.
숙제 답 확인, 수업 예시, 간단한 대수 복습, 식을 정리한 뒤 계수 검증에 적합한 도구입니다. 증명을 도와주는 프로그램이나 수업에서 요구하는 풀이 과정을 대신하지는 않습니다. 필요하면 화면에 보이는 방정식, 결과, 과정을 직접 노트에 옮기세요. 다운로드, 계정, 클라우드 저장, 자동 제출 기능은 제공하지 않습니다.
자주 묻는 질문
우변이 반드시 0이어야 하나요?
우변이 0이라는 것은 모든 항을 좌변으로 옮겼다는 뜻입니다. 양변에서 같은 항을 빼도 해는 달라지지 않습니다.
a가 0이면 어떻게 되나요?
a는 0일 수 없습니다. a = 0이면 일차방정식이므로 남은 bx + c = 0을 별도로 풀어야 합니다.
과학적 표기법으로 표시되는 이유는 무엇인가요?
0이 아니면서 0.01보다 작은 결과나 매우 큰 결과는 반올림 때문에 0이 되거나 숫자가 지나치게 길어지지 않도록 간결하게 표시합니다.
판별식이 음수이면 잘못된 방정식인가요?
아니요. 실근이 없다는 뜻입니다. 복소수 근은 존재할 수 있지만 이 기본 계산기는 표시하지 않습니다.
방정식 전체를 붙여 넣을 수 있나요?
아니요. 표시된 일반형으로 정리한 뒤 실수 계수만 입력하세요. 이 방식은 해석의 모호함을 피하고 각 부호를 분명하게 보여 줍니다.