사용 방법
성공 확률 p가 같은 독립 반복 시행에서 첫 성공이 언제 나오는지 구합니다. 25%는 0.25처럼 확률을 넣고 시행 번호 k를 입력하세요. 성공 시행도 세므로 첫 값은 k=1입니다. 정확히 k·k 이하·k 초과를 고르고 계산하면 확률과 같은 사건의 강조 막대가 나옵니다.
확률 이해하기
k번째 첫 성공은 P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p로 앞 k−1회 실패 후 성공입니다. P(X≤k)=1−(1−p)ᵏ는 k회 안에 한 번 이상 성공, P(X>k)=(1−p)ᵏ는 첫 k회 모두 실패입니다. 평균 시행 수는 1/p, 분산은 (1−p)/p²입니다.
풀이 예시
p=0.25, k=3이면 세 번째 첫 성공 확률은 14.06%, 세 번 이내 성공은 57.81%, 세 번 초과 필요는 42.19%입니다. 기대 시행 수는 4이지만 네 번째가 가장 가능성 높은 첫 성공이라는 뜻은 아닙니다.
p=0.5, k=1이면 정확히 한 번과 한 번 초과가 각각 50%입니다. 평균은 2회, 분산은 2입니다. p=1이면 첫 시행 성공이 확실하고 나중 시행에서의 첫 성공 확률은 0입니다.
활용 및 제한
0.000000001≤p≤1, 정수 k는 1–1,000,000,000을 지원합니다. p=0은 첫 성공이 없고 평균이 유한하지 않아 제외합니다. 천 단위 구분자 없이 마침표·쉼표 소수를 쓰세요. 음수·빈 값·비정수 시행 수는 오류입니다. 변하는 성공 확률·종속 시행·비복원추출에는 다른 모형이 필요합니다.
자주 묻는 질문
k는 실패 횟수인가요?
아니요. 일부 책은 성공 전 실패를 0부터 세지만 여기서는 첫 성공까지 모든 시행을 1부터 셉니다. 세 번 실패 후 성공이면 k=3이 아닌 k=4입니다.
막대는 왜 31회까지만 있나요?
막대가 구분되도록 첫 31개 시행을 표시하고 나머지 꼬리 확률은 따로 알립니다. p가 작으면 대부분의 확률이 화면 밖일 수 있습니다. 막대가 없다고 확률이 0인 것은 아닙니다.
평균이 정수가 아닌 이유는 무엇인가요?
평균은 여러 반복 실험의 장기 평균이므로 정수일 필요가 없습니다. 개별 시행 수는 정수입니다. 기대 대기가 길어도 가장 가능성 높은 첫 성공은 첫 시행입니다.
정밀도·복사·지우기는 어떻게 작동하나요?
내부 정밀도를 유지하며 일반값은 소수 최대 두 자리, 작은 양의 확률은 과학적 표기, 분해능 미만 양수는 < 1E−300입니다. 복사는 확정 p·k·결과를 포함합니다. 입력·사건 변경은 재계산 전 결과·차트를 지우고 지우기는 숫자 칸을 비웁니다.