벡터 내적 계산기

2차원 또는 3차원 벡터 두 개를 입력해 내적과 두 벡터 사이 각도를 구하세요.

벡터 성분 입력

데이터는 이 브라우저 안에만 저장됩니다.

성분을 입력하고 계산을 누르세요.

두 벡터의 직교 좌표 성분을 알 때 사용하세요. 영벡터도 내적은 정의되지만 방향은 없으므로, 내적과 각도를 별도 결과로 보여 줘요.

A = (a₁,a₂,a₃), B = (b₁,b₂,b₃)일 때 내적은 A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃예요. 2D에서는 세 번째 항만 제외해요. 결과는 벡터가 아닌 스칼라예요.

양수이면 두 벡터가 대체로 같은 쪽을 향하고, 음수이면 사이각이 90°보다 커요. 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 내적이 0이면 서로 수직이에요. 어느 한쪽이 영벡터라면 내적이 0이라는 사실만으로 수직 방향을 증명할 수 없어요.

두 벡터가 모두 영벡터가 아니면 cos θ = (A · B)/(|A||B|)예요. 유클리드 크기를 사용하며 arccos를 적용하기 전에 계산된 코사인을 −1~1로 제한해요. 아주 작은 부동소수점 오차 때문에 정의역 오류가 생기는 일을 막기 위해서예요.

0°~180° 사이의 작은 무방향 각도를 반환해요. 도와 라디안은 같은 각도를 나타내요. 어느 벡터의 크기든 0이면 내적은 여전히 0으로 표시하지만, 영벡터에는 방향이 없으므로 각도는 정의되지 않는다고 명시해요.

기하·좌표·선형대수에서 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적이 0인지 확인해 직교 여부를 판단하세요.
방향을 비교하세요. 같은 방향의 평행 벡터는 0°, 반대 방향은 180°예요.
물리학의 일은 힘과 변위의 내적으로 나타낼 수 있지만, 이 페이지는 벡터 계산만 수행하고 물리 단위를 붙이지 않아요.
한 칸에 괄호·쉼표·i/j/k 표기나 수식을 붙여 넣지 마세요. 각 칸에 숫자 성분 하나씩 입력하세요.
결과는 소수점 아래 최대 두 자리로 표시하고, 내부 계산은 JavaScript 수치 정밀도를 유지해요. 실용적인 계산기이며 임의 정밀도 엔진은 아니에요.

A = (3,4), B = (5,2): A · B = 3×5 + 4×2 = 23. 크기는 5와 √29이고, 각도는 약 31.33°(0.55 rad)예요.

A = (2,3), B = (−3,2): A · B = −6 + 6 = 0. 두 벡터 모두 영벡터가 아니므로 각도는 90°(1.57 rad)예요.

A = (0,0,0), B = (1,2,3): 내적은 0이지만 각도는 정의되지 않아요.

아니요. 두 벡터의 내적은 하나의 스칼라 수예요.

하나 이상의 벡터가 영벡터일 때만 정의되지 않아요. 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적이 0이면 각도는 90°예요.

아니요. A · B와 B · A는 같고 각도도 변하지 않아요.

네. 계산 전에 차원을 고르세요. z 입력칸은 3D에서만 나타나요.

미세한 부동소수점 오차가 드러나지 않도록 소수점 아래 최대 두 자리로 표시해요. 내부 계산에는 반올림하지 않은 수를 사용해요.