사용 방법
- 두 목록을 같은 순서로 입력하세요. 첫 목록의 첫 값은 다른 목록의 첫 값과 한 쌍입니다. 각 목록의 단위를 통일하고 제목·단위 기호는 제거하세요.
- 값 사이에는 공백·쉼표·세미콜론, 소수점에는 1.5처럼 마침표를 사용하세요. 화면 언어에서 소수점 쉼표를 쓰더라도 쉼표는 항상 다음 값을 구분합니다. 2e-3 같은 과학적 표기도 허용합니다.
- 두 목록이 모두 유효하면 결과와 차트가 바로 갱신됩니다. 입력이 불완전하거나 개수가 다르면 결과를 비웁니다. 오류 설명을 보려면 계산을 누르세요.
- 결과 복사는 수치 요약을 텍스트로 복사합니다. 지우기는 입력과 결과를 비웁니다. 차트는 화면 설명용이며 이미지나 자료 파일로 내보내지 않습니다.
미리보기
X와 Y가 함께 변하나요? 점 하나가 한 쌍입니다. 여기서는 X가 커질수록 Y도 커져 상관관계가 양수입니다.
cov(X,Y) = Σ[(X − X̄)(Y − Ȳ)] / (n − 1)
X: 1 2 3 · Y: 2 4 6
r = 1 · 표본 공분산 = 2
입력란에는 이 예제가 먼저 나타납니다. 본인 자료로 수정한 뒤 계산하세요.
결과의 의미
두 측정량이 함께 변하는 양상을 설명하는 계산기입니다. 수업 계산 확인, 쌍 측정값 탐색이나 모형 적합 전 관계 방향 비교에 활용하세요. 각 점은 별도 요약이나 무작위 추출점이 아닌 원래 자료 쌍 (X, Y) 하나입니다.
dx = X − mean(X), dy = Y − mean(Y)라 할 때 피어슨 r = Σ(dx × dy) / √[Σ(dx²) × Σ(dy²)]입니다. 표본 공분산은 Σ(dx × dy)를 n − 1로, 모집단 공분산은 n으로 나눕니다. 목적에 맞게 선택하도록 둘 다 표시합니다.
두 목록에 변동이 있으면 피어슨 r은 −1과 1 사이입니다. 양수는 증가하는 선형 경향, 음수는 감소하는 경향입니다. 0 근처는 선형 관계가 약하지만 곡선 관계가 숨을 수도 있습니다. 반올림한 계수에 강도 표현을 붙이기 전에 산점도를 확인하세요.
공분산의 단위는 원래 단위의 곱입니다. m를 cm로 바꾸면 관계는 같아도 크기가 달라집니다. 상관계수는 단위가 없으며 양의 배율 변환에도 같습니다. 설명하려는 전체 집합에는 모집단 공분산, 관측값을 표본으로 볼 때는 표본 공분산을 사용하세요.
풀이 예시
X = 1, 2, 3과 Y = 2, 4, 6이면 n = 3, r = 1, 표본 공분산 = 2, 모집단 공분산 ≈ 1.33입니다. 모든 점이 상승 직선 위에 있습니다. 두 공분산은 나누는 수가 2와 3이라는 점만 다릅니다.
X = 1, 2, 3과 Y = 3, 2, 1이면 r = −1, 표본 공분산 = −1, 모집단 공분산 ≈ −0.67입니다. Y를 5, 5, 5로 바꾸면 공분산은 0이고 정규화할 Y 변동이 없어 r은 정의되지 않습니다.
입력·정밀도·출력
의미 있게 비교하려면 측정값의 쌍을 유지하세요. X와 Y를 따로 정렬하면 새로운 쌍이 생겨 없던 관계가 만들어질 수 있습니다. 큰 계수도 특이한 관측값 하나나 서로 다른 집단의 결합 때문일 수 있습니다. 이 요약은 인과관계·독립성·통계적 유의성·유용한 예측 모형을 입증하지 않습니다.
두 목록의 값 개수는 같아야 하며 각각 2–200개여야 합니다. 누락·텍스트·NaN·무한대는 거부하며 0·음수·반복값은 허용합니다. 누락 관측값은 한 목록만 밀지 말고 두 목록에서 같은 쌍을 제거하세요.
0이 아닌 입력의 절댓값은 1e-100–1e100이어야 합니다. 브라우저 부동소수점으로 약 15–16자리의 유효 숫자를 사용합니다. 서로 다른 입력이 같은 저장 숫자로 반올림되면 거부합니다. 공통 기준값을 줄이거나 적절한 단위로 바꿔 다시 시도하세요.
대부분의 결과는 소수 최대 두 자리로 표시합니다. 아주 작은 0이 아닌 값은 과학적 표기를 사용하며 계산 중간값은 반올림하지 않습니다. 기준값을 빼거나 배율을 적용한 축에는 원래 값 복원법을 명시해 큰 기준값 주변의 작은 차이도 볼 수 있게 합니다.
자주 묻는 질문
일정한 목록에서 상관계수가 정의되지 않는 이유는 무엇인가요?
편차 제곱합이 0이라 r의 분모가 0입니다. 공분산 0은 의미가 있지만 r = 0이라 쓰면 선형 관계가 없다고 측정한 것으로 잘못 해석됩니다.
r = 0이어도 관계가 있을 수 있나요?
네. U자형 자료는 선형 상관이 작을 수 있습니다. 한 계수로 설명할 수 없는 모양·군집·이상값을 보려면 산점도가 필요합니다.
표본과 모집단 값이 다른 이유는 무엇인가요?
같은 중심화 교차곱 합을 각각 n − 1과 n으로 나누기 때문입니다. 분석 목적에 맞게 선택하세요. 계산기는 자료가 전체 모집단인지 판단할 수 없습니다.
상관계수가 1에 가까우면 인과관계가 입증되나요?
아니요. 공통 원인·관측값 선택·우연으로 관계가 생길 수 있습니다. 변동하는 쌍이 두 개뿐이면 계수는 항상 +1 또는 −1이므로 추가 근거가 중요합니다.