본문으로 건너뛰기

이항전개 계산기

a·b·n을 입력해 (ax + b)ⁿ을 x의 표준 다항식으로 전개하세요. 음수 b의 번갈아 나오는 부호도 반영합니다.

(ax + b)ⁿ 입력

브라우저에서 처리해요.

ax + b의 x 계수입니다. 유한한 수를 입력하세요.

ax + b의 상수항입니다. 뺄셈은 음수로 입력하세요.

0–20의 정수입니다.

이항식 전개 결과

계수를 입력한 뒤 계산을 선택하세요.

(ax + b)ⁿ 전개 방법

x의 일차 이항식에 유한 이항정리를 적용합니다. 일반식을 해석하지 않고 전개 다항식 하나와 내림차순 계수 목록을 반환합니다.

  1. x에 곱하는 계수 a를 넣으세요. x + 3은 a = 1, −x + 3은 a = −1입니다.
  2. 상수항 b를 넣으세요. (2x − 3)⁴처럼 차를 전개하려면 b = −3입니다.
  3. n을 0–20의 정수로 넣고 계산을 누르세요.
  4. 표시한 원래 이항식과 전개를 확인하세요. 필요하면 이름표가 있는 식을 복사하세요. 입력을 수정하면 이전 결과를 지웁니다.

계산에 쓰는 유한 이항정리

음이 아닌 정수 n에서 (ax + b)ⁿ은 k = 0부터 n까지 C(n,k)(ax)ⁿ⁻ᵏbᵏ의 합입니다. ‘n개 중 k개 선택’인 이항계수 C(n,k)는 파스칼 삼각형 패턴을 만듭니다. x의 지수는 n부터 하나씩 줄고 b의 지수는 0부터 n까지 늘어납니다.

숫자 a·b를 대입하면 xⁿ⁻ᵏ의 계수는 C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ입니다. n + 1개 자리를 모두 계산하고 0인 항을 생략한 표준식과 전체 내림차순 목록을 보여 줍니다. 입력한 일반식을 반복해서 해석·곱하지 않습니다.

양수·음수 상수 예제

(2x − 3)⁴는 계수 1, 4, 6, 4, 1에 2·−3의 거듭제곱을 결합합니다. 전개는 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81, 목록은 16, -96, 216, -216, 81입니다. 음수 b의 홀수 거듭제곱은 음수, 짝수는 양수 항이 됩니다.

(x + 1)³은 계수 1, 3, 3, 1로 x³ + 3x² + 3x + 1이 됩니다. 계수 1은 1x³·1x 대신 x³·x, −1은 음수 부호로 표시합니다. 목록에는 숫자 1이 그대로 있습니다.

0인 계수와 지수 0

이 도구의 유한 다항식 관례에 따라 a·b가 0이어도 n = 0이면 1입니다. a = 0이고 n이 양수면 bⁿ, b = 0이면 최고차항 aⁿxⁿ만 남습니다. 값이 0인 중간 항은 식에서 사라져도 계수 목록의 자리는 유지합니다.

입력·출력 대응을 잃지 않으면서 지수·부호를 간결하게 보여 줍니다. 빠진 항 때문에 차수가 밀리지 않아 다항식 계산기에 목록을 복사할 때도 중요합니다.

지원 범위·정밀도·제외한 전개

지수는 0–20의 정수, a·b는 유한한 수여야 합니다. 정수는 정확한 안전 범위만 허용하며 정수 계수가 범위를 넘으면 거부합니다. 소수 계수는 브라우저 연산을 쓰고 최대 두 자리로 표시하며 의미 있는 더 작은 값은 과학적 표기를 사용합니다. 유한·정확 범위를 넘으면 a·b를 줄이세요.

변수 x 하나의 (ax + b)ⁿ만 전개합니다. 음수·분수 지수, 여러 변수, 중첩식, 일반 수식 문자열, 무한 이항급수, 인수분해, 근·그래프는 지원하지 않습니다. 모든 결과 항은 명시한 정리에 직접 대응합니다.

자주 묻는 질문

(ax − b)ⁿ은 어떻게 입력하나요?

둘째 항을 음수로 넣으세요. (2x − 3)⁴는 a = 2, b = −3, n = 4입니다.

계수 자리가 최대 n + 1개인 이유는 무엇인가요?

유한 정리에는 k = 0부터 n까지 항 하나씩 있습니다. 계수가 0이면 표시 항이 사라질 수 있습니다.

n이 0이면 어떻게 되나요?

1을 반환합니다. 다항식 전개에 사용하는 유한 정리의 n = 0 경계입니다.

n에 음수나 분수를 넣어도 되나요?

아니요. 무한급수나 다른 정의가 필요해 유한 전개 범위를 벗어납니다.

큰 입력이 거부된 이유는 무엇인가요?

계수 하나 이상이 유한하지 않거나 정수를 정확하게 표현할 수 없습니다. a·b·n을 줄여 다시 계산하세요.