使い方
- 点Pのx、y、z座標を入力します。
- ax + by + cz + d = 0のa、b、c、dを入力します。すべての項を左辺に移してください。
- 計算し、図でPと垂線の足Hの関係を確認します。
すべての座標に同じ長さの単位を使います。単位表示を変更しても数値は換算されません。1e-4のような数値は入力できますが、文字を含む式は入力できません。
入力から有効な図形が決まると、図がすぐに更新されます。未入力や無効な値がある間は図を隠し、入力がそろうと再表示します。編集すると前の数値結果とコピーは無効になります。計算ボタンで現在の結果を確定してからテキストをコピーしてください。クリアは数値を消し、選択項目は残します。
公式と結果の意味
最短の経路は平面に垂直で、法線n = (a, b, c)と平行です。Pを平面の式に代入した値の絶対値を、法線の長さで割ると、0以上の距離になります。Hは平面上でPに最も近い点です。
D = |aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d| / √(a² + b² + c²)。H = P − [(aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d)/(a² + b² + c²)](a,b,c)。
計算例
P = (2, 3, 7)、平面z − 2 = 0なら、a = 0、b = 0、c = 1、d = −2です。H = (2, 3, 2)、距離は5単位です。破線はPとHを結びます。
斜めの平面でも同じ方法です。P = (1, 2, 3)、x + 2y + 2z − 3 = 0では分子が8、法線の長さが3なので、距離は8/3 ≈ 2.67単位、H = (1/9, 2/9, 11/9)です。表示座標は丸められています。正確な代入確認には丸める前の値を使います。
用途と制限
座標幾何の問題や、理想的な平面との間隔の確認に使えます。有限の三角形の面までの距離は別の問題です。Hが三角形の外にある場合があります。
浮動小数点数で計算します。通常の結果は小数第2位まで、小さい0以外の値は科学表記で表示します。方程式の係数は有効数字12桁までのため、近似値を含む場合があります。入力は0または絶対値10⁻⁹～10⁹、計算値は絶対値10¹⁵までです。
図は図形に合わせて縮尺を調整した平行投影です。画面上ですべての角度や長さが保存されるわけではありません。小さな座標軸は向きを示し、原点の位置は示しません。数値は結果欄で確認してください。
よくある質問
距離が0になるのはなぜですか？
Pがすでに平面上にあるためです。PとHが重なり、垂線の長さは0になります。
係数を何倍かすると答えは変わりますか？
4つすべてを同じ0以外の数倍にしても、同じ平面なので距離は変わりません。1つだけ変えると通常は平面も変わります。
法線が0ではいけないのはなぜですか？
a = b = c = 0では平面を一意に定められません。少なくとも1成分を0以外にしてください。
コピーした数値はどう使いますか？
ノートやワークシートに答え合わせとして貼り付け、座標の単位と元の入力値も残してください。丸めた表示座標は厳密な記号計算の値ではありません。精度の理由で計算できない場合は座標を平行移動するか縮尺を変えてください。空の結果を0とは解釈しないでください。