指数回帰計算機の使い方
- X と対応する正の Y を同じ順番で入力します。1番目同士が1組です。単位をそろえ、見出しや単位記号は入れません。
- 空白・カンマ・セミコロンで区切ります。表示言語に関係なく小数点はピリオドです。2e-3 の科学表記も使えます。
- 「計算する」を押します。式、a、b、ペア数、対数空間の残差平方和の順に確認し、点と曲線も比較します。
- 「結果をコピー」は数値要約をテキストでコピーします。入力を編集すると結果とコピーが直ちに無効になります。「クリア」は入力・エラー・結果・グラフを消します。データは送信・保存されません。
式と結果の読み方
モデルは y = a·exp(bx)（a > 0）です。自然対数を取ると ln(y) = ln(a) + bx になります。(x, ln(y)) に通常の線形最小二乗法を使い、切片 ln(a) を指数化して a、傾きを b とします。
表示する SSE は Σ[ln(yᵢ) − ln(ŷᵢ)]² です。同じデータ内で対数的な近さを表します。元の尺度の Σ(yᵢ − ŷᵢ)² ではなく、元尺度の非線形最小二乗法と同じ結果とは限りません。
x = 0 の値が a です。b > 0 は増加、b < 0 は減衰、b = 0 は一定です。内部計算とグラフは丸め前の精度を使い、表示とコピーだけを読みやすく丸めます。
計算例
正確な2倍
X = 0, 1, 2、Y = 1, 2, 4 なら a = 1、b = ln(2) ≈ 0.69314718 です。曲線は3点を通り、対数 SSE は浮動小数点誤差を除けば 0 です。
一定の Y
X = −2, 0, 5、Y = 3, 3, 3 なら b = 0、a = 3 で y = 3 です。ペアを保ったまま順番を変えても係数は同じです。
用途・制限・エラー
一定の X 増加ごとにおおむね一定倍率で変わる量など、対数線形モデルが妥当な場合の増加・減衰の探索に使えます。因果関係の証明ではなく、p値・信頼区間・自動予測・統計判断は提供しません。
2〜200組で個数をそろえ、有限値、正の Y、2種類以上の X が必要です。非ゼロ値の絶対値は 1e-100〜1e100 です。大きな基準値のため X の差が失われる場合は、共通の年などを引くか単位を変えます。
有限入力でも a、b、点、座標が表現不能になることがあります。その場合は Infinity やアンダーフローした 0、誤解を招く曲線を出さずエラーにします。コピーはテキストのみで、ファイル、画像出力、アカウント、API、DB、履歴はありません。
よくある質問
Y が正である必要は？
この当てはめで使う自然対数は、実数では正の Y にだけ定義されるためです。
非線形最小二乗法と同じですか？
いいえ。ln(Y) の残差を最小化します。元の Y を直接最小化すると係数が異なる場合があります。
b の意味は？
X が1増えるたび、当てはめ値は exp(b) 倍になります。
単位で a が変わるのは？
a は x = 0 の値なので、X の原点を移すと同じ曲線でも a が変わります。
順番は影響しますか？
正しい X-Y の組を保てば、組全体の並べ替えは影響しません。
コピー結果の使い方は？
式・係数とともに対数空間 SSE を最小化したと明記し、元データと単位も保存してください。