相関係数・共分散計算機

使い方

1. 2つのリストを同じ順番で入力します。一方の1番目は他方の1番目と対応します。各リスト内の単位をそろえ、見出しや単位記号を取り除いてください。
2. 値は空白・カンマ・セミコロンで区切り、小数は 1.5 のように点を使います。表示言語にかかわらず、カンマは値の区切りです。2e-3 のような科学表記も使えます。
3. 2つのリストが有効になると、結果とグラフが自動で更新されます。入力が未完成、または個数が違う間は結果を空にします。エラーの理由を確認するには「計算する」を押してください。
4. 「結果をコピー」は数値の要約をテキストとしてコピーします。「クリア」は入力と結果を空にします。グラフは画面上の説明用で、画像やデータファイルとしての書き出し機能はありません。

結果の意味と計算方法

2つの測定量がどのように一緒に変わるかを調べる計算機です。統計の練習問題の確認、対応する測定値の探索、モデルを作る前の関係の向きの確認に使えます。点はそれぞれ入力された1つのペア (X, Y) を表します。

dx = X − X の平均、dy = Y − Y の平均とすると、r = Σ(dx × dy) / √[Σ(dx²) × Σ(dy²)] です。標本共分散は Σ(dx × dy) を n − 1 で、母共分散は n で割ります。目的に合う定義を選べるよう、両方を表示します。

両方の列に変動があれば r は −1〜1 です。正の値は右上がり、負の値は右下がりの直線的傾向を示します。0に近くても曲線的な関係が隠れていることがあります。丸めた係数だけで強さを分類せず、散布図の形も確認してください。

共分散の単位は元の単位の積です。メートルをセンチメートルに変えると共分散の大きさは変わります。一方、相関係数は無次元で、正の倍率で単位を変えても同じです。調べたい集団全体を記述するなら母共分散、標本として扱うなら標本共分散を使います。

計算例

X = 1, 2, 3、Y = 2, 4, 6 なら、n = 3、r = 1、標本共分散 = 2、母共分散 ≈ 1.33 です。すべての点が右上がりの直線上に並びます。共分散の差は分母が2か3かによります。

X = 1, 2, 3、Y = 3, 2, 1 なら、r = −1、標本共分散 = −1、母共分散 ≈ −0.67 です。Y を 5, 5, 5 に置き換えると、共分散は0ですが、Y の変動がなくなるため r は定義できません。

入力・精度・結果の利用

測定値の対応を維持してください。X と Y を別々に並べ替えると別のペアができ、見かけの関係を作ってしまいます。1つの外れ値や異なる集団の混合が係数を大きくすることもあります。この結果だけでは因果関係・独立性・統計的有意性・予測の有用性は証明できません。

2つのリストは同じ長さで、2〜200個の値が必要です。欠損値・文字・NaN・無限大は使えません。0・負数・同じ値の繰り返しは使えます。観測が欠けている場合は片方だけでなくペア全体を除き、対応のずれを防いでください。

0以外の入力の絶対値は 1e-100〜1e100 に限ります。ブラウザーの浮動小数点演算は有効数字およそ15〜16桁です。異なる入力が同じ数値に丸められる場合はエラーにします。共通の大きな基準値を引くか、単位を見直してください。

通常の結果は小数第2位まで表示します。小さな非ゼロ値は科学表記にし、途中の計算は丸めません。軸に基準値や倍率を使う場合は元の値への戻し方を明記し、大きな値の周りの小さな違いも見えるようにします。

よくある質問

定数列で相関係数を定義できないのはなぜですか？

偏差の2乗和が0となり、r の分母が0になるためです。共分散0は計算できますが、r = 0 とすると直線的な関連が測定された結果だと誤解されます。

r = 0 でも関係があることはありますか？

あります。U字形のデータなどでは直線的な相関が小さくても関係があります。曲がり方・集団・外れ値は散布図で確認してください。

標本と母集団のどちらを選べばよいですか？

同じ偏差積和を、それぞれ n − 1 と n で割っています。データを標本として扱うか、記述したい集団全体として扱うかで選びます。計算機だけでは判断できません。

1に近い相関は原因と結果の証拠になりますか？

なりません。共通の原因、観測の選び方、偶然でも相関は生じます。変動のある2ペアだけなら r は必ず +1 または −1 なので、追加の根拠が必要です。