Come si usa
Questo calcolatore scompone un vettore originale u in una parte p lungo un vettore di riferimento v e in un residuo perpendicolare r. Scegli 2D per coordinate x e y, oppure 3D se serve anche z. Inserisci entrambi i vettori nello stesso sistema di coordinate e con unità compatibili. L'ordine conta: u è il vettore da proiettare e v stabilisce la direzione di destinazione. È utile per esercizi di geometria, moto direzionale e verifiche delle componenti, senza dover prima normalizzare v.
Sostituisci i valori d’esempio con i tuoi dati, scegli il confronto o la dimensione quando disponibili e premi Calcola. Anche Invio invia il modulo. Solo questa azione conferma il risultato. Modificare un numero o una scelta rimuove il risultato precedente e disabilita Copia risultato. Cancella svuota i campi numerici conservando la modalità. Dopo un calcolo riuscito, Copia risultato copia dati e risultato numerico come testo semplice. Se gli appunti sono bloccati, seleziona il testo visibile. I valori sbiaditi sono un esempio eseguibile: il primo accesso a un campo numerico li cancella tutti una sola volta. I dati inseriti dopo vengono conservati. L’anteprima mostra i dati: calcola per confermare il risultato.
Funzionamento e lettura del risultato
La formula è p = (u · v)/(v · v) v, con r = u − p. In modo equivalente, normalizza v in un versore d, calcola lo scalare con segno s = u · d, quindi usa p = sd. L'implementazione usa questa forma con il versore. Lo scalare ha un segno: non coincide sempre con la lunghezza non negativa della proiezione. La lunghezza della proiezione è |s|. In aritmetica esatta r · v = 0, quindi la componente residua è perpendicolare alla direzione di riferimento.
Il risultato elenca vettore proiezione, componente scalare, vettore residuo, prodotto scalare del residuo ed errore relativo di ortogonalità. Un piccolo errore relativo è utile con vettori grandi, perché il solo prodotto scalare assoluto può essere fuorviante. Il diagramma traccia u e v dalla stessa origine, p lungo la retta di riferimento e r dalla punta di p alla punta di u. Così p + r = u è visibile come somma punta-coda. Tratti continui, tratteggiati ed etichette distinguono i vettori senza affidarsi solo al colore.
Esempi
Esempio 1: scegli 2D, u = (3, 4) e v = (1, 0). La proiezione è p = (3, 0), lo scalare s = 3, il residuo r = (0, 4) e r · v = 0. Il diagramma mantiene la stessa scala sui due assi, quindi il riferimento orizzontale e il residuo verticale formano un angolo retto.
Esempio 2: scegli 3D, u = (2, −1, 3) e v = (0, 0, −2). La proiezione è (0, 0, 3), lo scalare s = −3 e il residuo (2, −1, 0). Lo scalare negativo significa che p punta nel verso opposto a v, anche se la lunghezza della proiezione è 3. La verifica del prodotto scalare dà zero.
Limiti e risoluzione dei problemi
Sono supportate solo due o tre componenti reali. v non può essere nullo, ma u sì. Usa il punto, non la virgola, come separatore decimale. I valori possono essere zero oppure avere valore assoluto da 1e−12 a 1e12. I risultati ordinari mostrano al massimo due decimali; quelli piccoli non nulli conservano più cifre significative. I calcoli usano valori non arrotondati. La figura 3D è esplicitamente una proiezione parallela nelle coordinate dello schermo (x − 0.6z, y − 0.4z): angoli e lunghezze sono distorti e punti diversi possono sovrapporsi. Verifica la perpendicolarità dal prodotto scalare, non dall'angolo apparente sullo schermo. La copia include i valori, non un'immagine.
Usa al massimo 15 cifre significative nei dati.
Domande frequenti
Moltiplicare v per un numero positivo cambia p?
No. Cambia la lunghezza del vettore di riferimento, ma lascia invariati la retta di riferimento e la proiezione.
E se inverto v?
Lo scalare con segno cambia segno, ma p e il residuo rimangono uguali.
La proiezione può essere nulla?
Sì. Se u è perpendicolare a v, p è il vettore nullo e tutto il vettore originale diventa il residuo.
Perché una coordinata z è scomparsa?
La modalità 2D nasconde e ignora z. Tornando a 3D il campo ricompare e devi ricalcolare per confermare un risultato.