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Calcolatore degli angoli direttori di un vettore 3D

Inserisci un vettore 3D non nullo per trovare i tre angoli con gli assi e i coseni direttori.

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Vettore v

Risultato

Inserisci le componenti, quindi seleziona Calcola.

Come usare il calcolatore degli angoli direttori

Il calcolatore descrive un vettore 3D rispetto ai semiassi coordinati positivi. Sono tre angoli con gli assi, non l'angolo tra due vettori né una direzione di rotta 2D.

  1. Inserisci le componenti x, y e z del vettore v.
  2. Seleziona Calcola. Il vettore deve essere non nullo.
  3. Leggi modulo e coseni direttori l, m e n.
  4. Leggi α, β e γ, gli angoli con i semiassi positivi x, y e z, in gradi e radianti.
  5. Copia i risultati o seleziona Cancella per ricominciare con campi vuoti.

Coseni direttori e angoli con gli assi

Per v = (x,y,z), con modulo |v| = √(x²+y²+z²), i coseni direttori sono l = x/|v|, m = y/|v| e n = z/|v|. Sono anche le componenti del versore con la stessa direzione e verso.

Gli angoli direttori sono α = arccos(l), β = arccos(m) e γ = arccos(n). Ognuno è misurato dal relativo semiasse positivo e va da 0° a 180°. Una componente negativa produce quindi un angolo ottuso con quel semiasse.

Verifiche e interpretazione

Coseni direttori validi soddisfano l² + m² + n² = 1, a parte piccoli errori in virgola mobile. Il calcolatore ricava tutti e tre dallo stesso modulo, quindi i loro segni conservano l'ottante del vettore originale.

Questi tre angoli non sono controlli di rotazione indipendenti né angoli di Eulero. Descrivono l'orientamento di una retta dall'origine. Moltiplicare il vettore per uno scalare positivo conserva gli angoli; moltiplicarlo per uno negativo inverte il verso e sostituisce ogni angolo θ con 180° − θ.

Usi, limiti ed errori comuni

  • Descrivi una forza, velocità, retta o normale 3D rispetto agli assi coordinati.
  • Usa i coseni come componenti del corrispondente versore direzione.
  • Non confondere α, β e γ con il singolo angolo tra due vettori: questa pagina accetta un solo vettore.
  • Il vettore nullo viene rifiutato perché ha modulo zero e nessuna direzione da confrontare con gli assi.
  • La pagina non calcola azimut/elevazione, conversioni di coordinate, rotazioni di Eulero o scene 3D. I risultati mostrano al massimo due decimali.

Esempi svolti

v = (1,1,1): |v| = √3, ogni coseno direttore è circa 0.58 e α = β = γ ≈ 54.74° (0.96 rad).

v = (−2,0,0): i coseni direttori sono (−1,0,0); gli angoli con gli assi sono 180°, 90° e 90°.

v = (0,0,0): il modulo è zero, quindi non è definito alcun coseno o angolo direttore.

Domande frequenti

Questi angoli sono misurati tra due vettori?

No. Ogni angolo confronta un vettore con un semiasse coordinato positivo.

Perché un angolo direttore può superare 90°?

Una componente negativa punta in parte contro quel semiasse positivo, quindi il coseno è negativo e l'angolo ottuso.

I coseni direttori formano un versore?

Sì. La terna (l,m,n) è il vettore normalizzato e la somma dei quadrati delle componenti è 1.

Perché il vettore nullo non è consentito?

Dividere le componenti per il modulo significherebbe dividere per zero; inoltre il vettore nullo non ha direzione.

Cambiare la lunghezza del vettore cambia gli angoli?

Moltiplicarlo per un fattore positivo non li cambia. Contano solo direzione e rapporti tra componenti.