Come risolvere un sistema di equazioni lineari
Una soluzione assegna un valore a ogni variabile affinché tutte le equazioni inserite siano vere contemporaneamente. Questa pagina classifica sistemi quadrati 2×2 e 3×3.
Come si usa
- Scegli due o tre variabili.
- Inserisci i coefficienti nella forma ax + by = d oppure ax + by + cz = d; usa 0 per un termine mancante.
- Seleziona Risolvi il sistema per classificare le equazioni.
- Per una soluzione unica, leggi x, y e z e controlla il residuo massimo di sostituzione.
Eliminazione e classificazione
L'eliminazione di Gauss con pivoting parziale scalato riordina le equazioni quando è disponibile un pivot più forte. L'ordine delle righe non cambia quindi la risposta matematica.
Un pivot per ogni variabile dà una soluzione. Una riga equivalente a 0 = valore non nullo indica nessuna soluzione. Meno pivot senza contraddizioni significano infinite soluzioni. I risultati unici vengono sostituiti nelle equazioni originali e viene mostrato il maggiore residuo assoluto.
Esempi svolti
Sistema 2×2 con soluzione unica
x+y=6 e 2x−y=3 danno x=3 e y=3. La sostituzione restituisce di nuovo 6 e 3.
Nessuna soluzione
x+y=2 e 2x+2y=5 hanno primi membri proporzionali ma costanti incompatibili, quindi l'eliminazione produce una contraddizione.
Infinite soluzioni
x+y=2 e 2x+2y=4 sono la stessa equazione a scale diverse e lasciano una variabile libera.
Sistema 3×3 con soluzione unica
x+y+z=6, 2x−y+z=3 e x+2y−z=2 danno x=1, y=2, z=3.
Limiti e intervallo numerico
- Sono accettati solo campi di coefficienti; non sono supportati equazioni in forma libera, simboli, frazioni, valori complessi o unità.
- Gli ingressi sono decimali finiti con valore assoluto massimo di 1 miliardo. Sistemi fortemente mal condizionati possono essere sensibili a piccole modifiche dei dati.
- I confronti con zero usano una tolleranza interna documentata di 0.0000000001 dopo la normalizzazione delle righe; è una classificazione numerica, non algebra simbolica.
- La pagina gestisce esattamente due o tre equazioni con lo stesso numero di variabili. Non è un CAS, un tutor di matrici o un risolutore illimitato.
Domande frequenti
Cosa significa nessuna soluzione?
Almeno due equazioni impongono condizioni incompatibili, quindi nessun punto le soddisfa tutte.
Cosa significa infinite soluzioni?
Le equazioni non forniscono abbastanza vincoli indipendenti; una o più variabili restano libere.
Perché inserire zero?
Un termine assente da un'equazione ha coefficiente zero.
Cos'è il residuo di sostituzione?
È la maggiore differenza assoluta tra ciascun primo membro originale valutato nella soluzione e il relativo secondo membro.