Come si usa
- Scegli centro e raggio oppure coefficienti della forma sviluppata.
- Per la forma sviluppata, inserisci A, B, C e D in x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0. I coefficienti dei tre termini al quadrato devono essere già pari a 1.
- Calcola per confrontare forma canonica, forma sviluppata, centro e raggio con il disegno.
Scegli una sola unità di lunghezza per tutte le coordinate. Cambiare l’etichetta dell’unità non converte i numeri. Inserisci numeri, anche in notazione scientifica come 1e-4; non inserire espressioni algebriche.
Il disegno si aggiorna non appena i dati descrivono una geometria valida. Se un valore manca o non è valido, il disegno resta nascosto finché i campi non sono pronti. Le modifiche cancellano il risultato numerico precedente e disattivano Copia risultato. Premi Calcola per confermare i numeri attuali, poi copiali come testo. Cancella svuota i campi numerici mantenendo le selezioni.
Formula e interpretazione
Una sfera contiene i punti alla stessa distanza r dal centro (h, k, l). Sviluppando i tre quadrati si ottengono i coefficienti lineari. Il completamento dei quadrati inverte il procedimento. Non viene usato un analizzatore di equazioni in formato libero.
(x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r². A = −2h, B = −2k, C = −2l; D = h² + k² + l² − r². r² = (A² + B² + C²)/4 − D.
Esempio svolto
Centro (1, −2, 3) e raggio 4 danno (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16. La forma sviluppata è x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0. Inserisci A = −2, B = 4, C = −6, D = −2 per ritrovare lo stesso centro e raggio.
Con i coefficienti sviluppati A = 0, B = 0, C = 0, D = −9, l’equazione è x² + y² + z² − 9 = 0. Completando i quadrati si ottengono centro (0, 0, 0) e raggio 3. Cambiare D in 1 richiederebbe r² = −1, che non ammette un raggio reale.
Usi e limiti
Usa il risultato per verificare il completamento dei quadrati e gli esercizi di geometria analitica. Questo strumento trova le equazioni, non il volume o l’area della superficie. Se i termini al quadrato hanno un coefficiente comune non nullo, dividi tutta l’equazione per quel coefficiente prima di inserire i numeri; coefficienti quadratici diversi descrivono un’altra superficie.
I numeri vengono calcolati con la normale aritmetica in virgola mobile. I risultati ordinari mostrano fino a due decimali; i valori piccoli diversi da zero usano la notazione scientifica. I coefficienti delle equazioni usano fino a 12 cifre significative, quindi l’equazione mostrata può essere approssimata. Gli input sono limitati a zero o a valori assoluti tra 10⁻⁹ e 10⁹, i valori calcolati a un massimo di 10¹⁵.
Il disegno è una vista ortografica, adattata automaticamente alla geometria. La prospettiva sullo schermo non conserva ogni angolo o lunghezza. Le piccole frecce degli assi indicano l’orientamento, non la posizione dell’origine; leggi coordinate e distanze nei risultati.
Domande frequenti
Cosa significa un raggio pari a zero?
L’equazione si riduce al solo punto centrale. Questa sfera degenere viene accettata e disegnata come un punto.
Cosa succede se r² è negativo?
Non esiste una sfera reale. È diverso dall’inserire un raggio negativo, che è un valore di input non valido.
Centri molto grandi possono nascondere un raggio piccolo?
Sì. Sottrarre numeri grandi quasi uguali può ridurre la precisione nella forma sviluppata. Usa l’input con centro e raggio quando possibile, oppure trasla e ridimensiona le coordinate.
Come devo usare i numeri copiati?
Incolla il risultato in appunti o in un foglio di esercizi per verificare il calcolo. Conserva anche l’unità delle coordinate e i dati originali. Le coordinate arrotondate sono destinate alla lettura, non a sostituzioni simboliche esatte. Se un calcolo viene rifiutato per problemi di precisione, trasla o ridimensiona le coordinate; non interpretare un risultato vuoto come zero.