Come risolvere un’equazione di secondo grado
Porta l’equazione in forma standard
Il calcolatore risolve ax² + bx + c = 0 con coefficienti reali. Le caselle sono inserite direttamente nell’equazione: a moltiplica x², b moltiplica x e c è il termine noto. a deve essere diverso da zero. Se manca il termine in x o il termine noto, scrivi 0 invece di lasciare vuota la casella. x² senza coefficiente scritto ha coefficiente 1; −x² ha coefficiente −1.
Lo zero a destra indica che tutti i termini sono stati spostati a sinistra. Sottrarre gli stessi termini da entrambi i membri lascia invariate le soluzioni. Ad esempio: x² + 2x = 3 → x² + 2x − 3 = 0. Inserisci a = 1, b = 2, c = −3.
Inserisci i numeri con il segno e calcola
Digita soltanto i numeri, compresi i segni negativi, nelle tre caselle. I segni più uniscono i termini con il loro segno: aggiungere un b negativo equivale a sottrarne il valore assoluto. Usa il punto decimale in tutte le lingue, ad esempio 0.5 o 2.5e-6. Seleziona Calcola o premi Invio per visualizzare l’equazione e le soluzioni reali. Modificare un coefficiente cancella subito il risultato precedente. Cancella svuota dati, errori e risultato per ricominciare.
Discriminante, radici e forma con il vertice
Per ax² + bx + c = 0, il discriminante è Δ = b² − 4ac. Se è positivo, ci sono due radici reali distinte; se è zero, una radice doppia; se è negativo, nessuna radice reale. La formula è x = (−b ± √Δ)/(2a). Quando Δ è negativo, la pagina si ferma a «nessuna radice reale»: non calcola radici complesse.
La forma con il vertice è y = a(x − h)² + k, dove h = −b/(2a) e k = −Δ/(4a). Descrive la stessa funzione di y = ax² + bx + c. Il vertice è (h, k) e la retta x = h è l’asse di simmetria. Internamente si usa una formula equivalente numericamente stabile, per ridurre il rischio di perdere una radice molto piccola sottraendo numeri quasi uguali.
Esempi svolti
Secondo grado: x² − 5x + 6 = 0
Inserisci a = 1, b = −5, c = 6. Δ = 25 − 24 = 1, quindi le radici sono 2 e 3. La forma con il vertice è y = (x − 2.5)² − 0.25.
Radice doppia: x² − 6x + 9 = 0
Inserisci a = 1, b = −6, c = 9. Il discriminante è 36 − 36 = 0, quindi l’unica radice è x = 3, con molteplicità due. La forma con il vertice è y = (x − 3)² + 0. Sostituendo si ottiene 9 − 18 + 9 = 0.
Nessuna radice reale: x² + 1 = 0
Inserisci a = 1, b = 0, c = 1. Δ = −4, quindi non ci sono radici reali. Le radici complesse non vengono calcolate.
Usare il risultato e comprenderne i limiti
Precisione ed errori
I risultati ordinari mostrano al massimo due decimali, senza zeri finali superflui. I valori non nulli molto piccoli e quelli molto grandi usano la notazione scientifica, per evitare di apparire come zero o come una lunga sequenza illeggibile. I calcoli mantengono tutta la precisione numerica del browser fino alla formattazione. Un decimale visualizzato è comunque un’approssimazione, salvo quando termina esattamente.
Inserisci numeri senza unità, separatori delle migliaia, frazioni o formule. I coefficienti non nulli devono avere valore assoluto da 1e-150 a 1e150. Una casella vuota non vale zero. Se il risultato supera l’intervallo supportato, riduci la differenza di grandezza tra i coefficienti o riscrivi l’equazione con una scala comune adeguata. Radici molto vicine possono risentire degli arrotondamenti: questo è un calcolatore numerico, non un risolutore simbolico esatto.
Controlli pratici prima di usare la risposta
Sostituisci ogni radice nell’equazione originale quando il risultato serve per un compito valutato o un altro calcolo. Possono rimanere piccoli residui perché coefficienti decimali e radici irrazionali sono rappresentati approssimativamente. Conserva i coefficienti non arrotondati per i calcoli successivi, senza copiare valori intermedi arrotondati.
Lo strumento è adatto a controllare compiti, preparare esempi didattici, ripassare l’algebra e verificare coefficienti dopo aver riordinato una formula. Non dimostra teoremi e non sostituisce il procedimento richiesto dal corso. Se necessario, copia manualmente equazione, risultato e passaggi nei tuoi appunti: non sono disponibili download, account, archiviazione cloud o invio automatico.
Domande frequenti
Perché il membro destro deve essere zero?
Lo zero a destra indica che tutti i termini sono stati spostati a sinistra. Sottrarre gli stessi termini da entrambi i membri lascia invariate le soluzioni.
Cosa succede se a è zero?
a deve essere diverso da zero. Se a = 0, l’equazione è lineare: risolvi separatamente bx + c = 0.
Perché compare la notazione scientifica?
Un risultato non nullo inferiore a 0.01 o molto grande viene mostrato in forma compatta, affinché l’arrotondamento non lo trasformi in zero o in una sequenza di cifre poco leggibile.
Un discriminante negativo indica un’equazione non valida?
No. Indica l’assenza di radici reali. L’equazione può avere radici complesse, ma questo calcolatore non le visualizza.
Posso incollare un’equazione completa?
No. Riordinala nella forma standard mostrata e inserisci soltanto i coefficienti reali. In questo modo ogni segno rimane visibile e non ci sono interpretazioni ambigue.