Come si usa
- Inserisci P tramite le sue coordinate x, y e z.
- Inserisci a, b, c e d per ax + by + cz + d = 0. Porta prima tutti i termini a sinistra.
- Calcola, poi confronta nel disegno P con H, il piede della perpendicolare.
Scegli una sola unità di lunghezza per tutte le coordinate. Cambiare l’etichetta dell’unità non converte i numeri. Inserisci numeri, anche in notazione scientifica come 1e-4; non inserire espressioni algebriche.
Il disegno si aggiorna non appena i dati descrivono una geometria valida. Se un valore manca o non è valido, il disegno resta nascosto finché i campi non sono pronti. Le modifiche cancellano il risultato numerico precedente e disattivano Copia risultato. Premi Calcola per confermare i numeri attuali, poi copiali come testo. Cancella svuota i campi numerici mantenendo le selezioni.
Formula e interpretazione
Il percorso più breve incontra il piano ad angolo retto. La sua direzione è parallela a n = (a, b, c). Dividi il valore assoluto dell’espressione del piano valutata in P per la lunghezza della normale per ottenere una distanza non negativa. H è il punto del piano più vicino.
D = |aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d| / √(a² + b² + c²). H = P − [(aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d)/(a² + b² + c²)](a,b,c).
Esempio svolto
Per P = (2, 3, 7) e z − 2 = 0, inserisci a = 0, b = 0, c = 1 e d = −2. H = (2, 3, 2) e la distanza è di 5 unità. Il segmento tratteggiato collega questi due punti.
Un piano inclinato dà lo stesso tipo di distanza perpendicolare. Per P = (1, 2, 3) e x + 2y + 2z − 3 = 0, il numeratore è 8 e la lunghezza della normale è 3. La distanza è 8/3 ≈ 2.67 unità, con H = (1/9, 2/9, 11/9). Le coordinate mostrate nel risultato sono arrotondate; per la sostituzione usa i valori non arrotondati.
Usi e limiti
Usa questo risultato per esercizi di geometria analitica o per la distanza tra un punto e una superficie piana ideale. Non misura la distanza da una faccia triangolare delimitata: il piede della perpendicolare potrebbe trovarsi fuori dalla faccia.
I numeri vengono calcolati con la normale aritmetica in virgola mobile. I risultati ordinari mostrano fino a due decimali; i valori piccoli diversi da zero usano la notazione scientifica. I coefficienti delle equazioni usano fino a 12 cifre significative, quindi l’equazione mostrata può essere approssimata. Gli input sono limitati a zero o a valori assoluti tra 10⁻⁹ e 10⁹, i valori calcolati a un massimo di 10¹⁵.
Il disegno è una vista ortografica, adattata automaticamente alla geometria. La prospettiva sullo schermo non conserva ogni angolo o lunghezza. Le piccole frecce degli assi indicano l’orientamento, non la posizione dell’origine; leggi coordinate e distanze nei risultati.
Domande frequenti
Perché la distanza è zero?
P appartiene già al piano. P e H coincidono, quindi il segmento perpendicolare ha lunghezza zero.
Moltiplicare l’equazione del piano cambia il risultato?
Moltiplicare tutti e quattro i coefficienti per lo stesso fattore non nullo descrive lo stesso piano e lascia invariata la distanza. Cambiare un solo coefficiente in genere modifica il piano.
Perché a = b = c = 0 viene rifiutato?
Un’espressione solo costante non può definire un piano univoco. Fornisci una normale diversa da zero.
Come devo usare i numeri copiati?
Incolla il risultato in appunti o in un foglio di esercizi per verificare il calcolo. Conserva anche l’unità delle coordinate e i dati originali. Le coordinate arrotondate sono destinate alla lettura, non a sostituzioni simboliche esatte. Se un calcolo viene rifiutato per problemi di precisione, trasla o ridimensiona le coordinate; non interpretare un risultato vuoto come zero.