Come si usa
- Scegli punto e normale oppure tre punti. Vengono usati solo i campi del metodo scelto.
- Inserisci le coordinate del punto e una normale non nulla oppure altri due punti.
- Calcola per leggere ax + by + cz + d = 0, il versore normale e la verifica per sostituzione.
Scegli una sola unità di lunghezza per tutte le coordinate. Cambiare l’etichetta dell’unità non converte i numeri. Inserisci numeri, anche in notazione scientifica come 1e-4; non inserire espressioni algebriche.
Il disegno si aggiorna non appena i dati descrivono una geometria valida. Se un valore manca o non è valido, il disegno resta nascosto finché i campi non sono pronti. Le modifiche cancellano il risultato numerico precedente e disattivano Copia risultato. Premi Calcola per confermare i numeri attuali, poi copiali come testo. Cancella svuota i campi numerici mantenendo le selezioni.
Formula e interpretazione
Una normale è perpendicolare a ogni direzione del piano. Con tre punti, sottrai il primo punto dagli altri due e calcola il prodotto vettoriale. Il risultato fornisce la normale. I coefficienti vengono riscalati in modo che la componente normale più grande abbia valore assoluto 1; la prima componente significativa è positiva.
n · (X − P) = 0; d = −n · P. Per tre punti, n = (Q − P) × (R − P).
Esempio svolto
Usa P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0) e R = (0, 0, 1). Il risultato è x + y + z − 1 = 0. Sostituendo ogni punto si ottiene zero. Il versore normale è approssimativamente (0.58, 0.58, 0.58).
Per il punto P = (2, −1, 3) e la normale (0, 0, 5), l’espressione punto-normale è 5(z − 3) = 0. Il risultato normalizzato è z − 3 = 0. Cambiando la normale in (0, 0, −10) si ottiene lo stesso piano. Il punto ne fissa l’altezza, mentre la normale ne fissa l’orientamento.
Usi e limiti
Questo risultato descrive un piano infinito per la geometria analitica e la modellazione 3D. Il residuo è il massimo valore assoluto ottenuto sostituendo i punti inseriti nell’equazione risultante non arrotondata; dovrebbe essere zero o vicino a zero. Un angolo tra direzioni con seno inferiore a 10⁻¹⁰ viene considerato numericamente allineato.
I numeri vengono calcolati con la normale aritmetica in virgola mobile. I risultati ordinari mostrano fino a due decimali; i valori piccoli diversi da zero usano la notazione scientifica. I coefficienti delle equazioni usano fino a 12 cifre significative, quindi l’equazione mostrata può essere approssimata. Gli input sono limitati a zero o a valori assoluti tra 10⁻⁹ e 10⁹, i valori calcolati a un massimo di 10¹⁵.
Il disegno è una vista ortografica, adattata automaticamente alla geometria. La prospettiva sullo schermo non conserva ogni angolo o lunghezza. Le piccole frecce degli assi indicano l’orientamento, non la posizione dell’origine; leggi coordinate e distanze nei risultati.
Domande frequenti
Perché a volte tre punti non funzionano?
Punti ripetuti o situati sulla stessa retta non determinano un piano univoco. Scegli un terzo punto lontano da quella retta.
Un’equazione diversa può essere corretta?
Sì. Moltiplicare ogni coefficiente per un numero non nullo dà un’equazione equivalente. Invertire l’ordine dei punti può invertire il prodotto vettoriale iniziale senza cambiare il piano.
La freccia è un vettore posizione?
No. Mostra la direzione del versore normale a partire dal piano. La sua lunghezza nel disegno viene adattata per facilitarne la lettura; il vettore numerico si trova nei risultati.
Come devo usare i numeri copiati?
Incolla il risultato in appunti o in un foglio di esercizi per verificare il calcolo. Conserva anche l’unità delle coordinate e i dati originali. Le coordinate arrotondate sono destinate alla lettura, non a sostituzioni simboliche esatte. Se un calcolo viene rifiutato per problemi di precisione, trasla o ridimensiona le coordinate; non interpretare un risultato vuoto come zero.