Come moltiplicare due matrici
Scegli dimensioni compatibili
Imposta righe e colonne della Matrice A, poi quelle della Matrice B. A × B esiste solo quando il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Le dimensioni esterne diventano quelle del risultato: una matrice m × n moltiplicata per una matrice n × p produce una matrice m × p. La nota accanto ai selettori ricorda questa regola e Calcola mostra un chiaro errore di dimensione se i valori interni non coincidono.
Ogni cella visibile deve contenere un numero finito. Usa 0 per uno zero intenzionale, un segno meno iniziale per un numero negativo e il punto per i decimali. Cambiare una dimensione conserva gli elementi che restano nelle stesse posizioni e aggiunge celle vuote per quelle nuove. Invalida inoltre subito il vecchio risultato, perché un risultato della forma precedente non descrive le matrici ridimensionate.
Segui la regola riga per colonna
Per ogni cella del risultato, prendi una riga completa di A e una colonna completa di B. Moltiplica la prima coppia, la seconda e così via, poi somma i prodotti. In simboli, cᵢⱼ = Σ aᵢₖbₖⱼ. L'indice interno comune k spiega perché A deve avere tante colonne quante sono le righe di B. È un prodotto scalare ripetuto per ogni abbinamento di riga e colonna.
Il prodotto di matrici non è una moltiplicazione elemento per elemento e in generale non è commutativo. Anche quando A × B e B × A esistono entrambi, possono avere valori diversi; per matrici rettangolari, un ordine può essere definito e l'altro no. La pagina calcola sempre A × B nell'ordine mostrato. Non scambia automaticamente le matrici e non calcola un prodotto di Hadamard.
Leggi e verifica il prodotto
La griglia del risultato ha una riga per ogni riga di A e una colonna per ogni colonna di B. Per verificare un elemento, individua la sua riga in A e la sua colonna in B, moltiplica le posizioni corrispondenti e somma. Controllare la prima cella spesso basta a individuare dimensioni errate o un valore inserito per sbaglio. Moltiplicare per una matrice identità di dimensioni corrispondenti deve restituire l'altra matrice invariata.
I prodotti appaiono con al massimo due decimali, mentre l'aritmetica interna mantiene la precisione numerica fino alla formattazione. Copia risultato produce righe tra parentesi quadre adatte ad appunti o fogli di lavoro. I prodotti di matrici si usano per applicare trasformazioni, combinare passaggi di transizione e comporre tabelle di coefficienti. Queste interpretazioni dipendono dall'ordine, quindi assegna un significato ad A e B prima di inserire dati reali.
Esempi svolti
Moltiplica 2 × 3 per 3 × 2
Per A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] e B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]], l'elemento in alto a sinistra è 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58. Quello in alto a destra è 64, in basso a sinistra 139 e in basso a destra 154, quindi A × B = [[58, 64], [139, 154]].
Verifica con la matrice identità
Siano A = [[2, -1], [3, 4]] e B = [[1, 0], [0, 1]]. Ogni riga di A abbinata alle due colonne dell'identità riproduce i suoi elementi originali. Il prodotto è [[2, -1], [3, 4]], un caso utile per controllare l'inserimento.
Limiti e risoluzione dei problemi
Valori supportati e precisione
Ogni dimensione è limitata a uno, due o tre. La pagina accetta normali numeri decimali, compresi valori negativi e zero, ma non frazioni testuali, variabili, elementi complessi, sintassi matriciale incollata o espressioni simboliche. Calcola soltanto il prodotto A × B.
I valori visualizzati usano al massimo due decimali ed eliminano gli zeri finali. I calcoli ripetuti si basano sui valori inseriti, non su un risultato visualizzato arrotondato. I prodotti molto grandi vengono rifiutati invece di mostrare Infinity o un valore inaffidabile.
Errori di dimensione e inserimento
Se compare l'errore di dimensione, cambia il numero di colonne di A o di righe di B finché coincidono. Le dimensioni del risultato possono differire da entrambe le matrici iniziali. Un errore di cella vuota significa che ogni posizione visibile, compresi gli zeri, deve essere compilata.
Questa pagina non offre moltiplicazione elemento per elemento, potenze, inverse, determinanti, riduzione per righe o passaggi simbolici. Mostra solo una breve spiegazione riga per colonna e il prodotto numerico; usa le altre pagine dedicate per trasposizione o determinante.
Domande frequenti
Perché le colonne di A devono essere pari alle righe di B?
Ogni cella del risultato abbina una riga intera di A a una colonna intera di B. Questi due elenchi devono avere lo stesso numero di elementi, così ogni moltiplicazione ha il suo corrispondente.
Quali dimensioni avrà il risultato?
Se A è m × n e B è n × p, il prodotto ha m righe e p colonne. Sono le dimensioni esterne delle due matrici iniziali.
A × B è sempre uguale a B × A?
No. In generale l'ordine conta nel prodotto di matrici. B × A può avere valori o forma diversi, oppure non essere definito anche quando A × B è valido.
Posso moltiplicare gli elementi nelle posizioni corrispondenti?
Quello è un prodotto elemento per elemento, o di Hadamard, diverso dall'operazione di questa pagina. Il calcolatore usa il prodotto matriciale standard riga per colonna.
Perché Copia non è disponibile dopo una modifica?
Il prodotto precedente è superato appena cambia un valore o una dimensione. Ricalcola prima, poi copia il prodotto corrispondente alle matrici attuali.