Calcolatore di diagonalizzazione di matrici
Trova P, D e P⁻¹ per una matrice reale 2×2, poi verifica A = PDP⁻¹.
Risultato
Calcola per visualizzare il risultato.
Come si usa
- Inserisci i quattro elementi per righe. L'esempio [4, 1; 0, 2] funziona subito.
- Calcola per trovare una base di autovettori P e la corrispondente diagonale D. Leggi P per colonne.
- Controlla la matrice ricostruita e i residui. Copia include tutte le matrici e le verifiche. Una modifica invalida il risultato precedente.
Esempio svolto
Per A = [4, 1; 0, 2], gli autovalori sono 4 e 2. Una scelta è P = [1, −1/√5; 0, 2/√5] con D = [4, 0; 0, 2]. Moltiplicando PDP⁻¹ si ritrova A.
Limiti e interpretazione
Questo strumento gestisce matrici reali 2×2 sia non simmetriche sia simmetriche. Classifica esattamente il discriminante per i valori decimali accettati, poi usa l'aritmetica in virgola mobile per P e P⁻¹. I risultati sono approssimati; reinserire i valori arrotondati visualizzati può produrre un residuo maggiore. I residui relativi usano la norma infinito. P non viene mostrata quando κ∞(P) supera 10⁸ o un errore di verifica supera 10⁻⁸.
Domande frequenti
Un autovalore ripetuto impedisce sempre la diagonalizzazione?
No. In 2×2, λI è diagonalizzabile e questo strumento usa P = I. Una matrice non scalare con un autovalore ripetuto non è diagonalizzabile. Prova [2, 1; 0, 2].
Perché un'altra risposta può avere una P diversa?
Gli autovettori possono essere riscalati, cambiati di segno o riordinati. Gli elementi corrispondenti di D devono combaciare con le colonne di P.
Sono supportate matrici 3×3 o complesse?
No. Un discriminante negativo significa che non c'è diagonalizzazione sui reali. Può comunque esistere una diagonalizzazione complessa, ma qui non viene calcolata.