Come si usa
Una matrice inversa inverte una trasformazione lineare invertibile. Il calcolatore gestisce matrici quadrate numeriche 2 × 2 o 3 × 3, adatte a verificare piccoli problemi di algebra e trasformazioni di coordinate. Scegli la dimensione prima di inserire gli elementi. Ogni etichetta aij identifica riga i e colonna j, a partire da 1. Mantieni l’ordine originale delle righe: trasporre o scambiare elementi cambia la matrice e in genere la sua inversa.
Sostituisci gli esempi modificabili con i tuoi dati, scegli confronto o dimensione dove disponibili e premi Calcola. Invio invia lo stesso modulo. Il risultato è confermato solo dopo questa azione. Modificare un numero o una selezione rimuove il vecchio risultato e disabilita Copia risultato, evitando di confonderlo con il calcolo corrente. Cancella svuota i campi numerici mantenendo la modalità. Dopo il calcolo, Copia risultato copia input e output numerico come testo semplice. Se gli appunti sono bloccati, seleziona il testo visibile. I valori chiari sono esempi eseguibili. Selezionare un campo numerico cancella una volta tutti i numeri di esempio; i dati successivi vengono mantenuti.
Come funziona e come leggere il risultato
Per una matrice 2 × 2 con righe (a, b) e (c, d), il determinante è ad − bc e l’inversa ha righe (d, −b) e (−c, a), divise per il determinante. Per 3 × 3, i cofattori formano l’aggiunta classica, divisa per il determinante. Il calcolatore converte i decimali inseriti in una scala intera comune e calcola esattamente determinante e cofattori prima dell’uscita numerica. Un determinante piccolo ma non nullo non viene automaticamente trattato come zero.
Leggi le tre griglie allineate come matrice A, inversa A⁻¹ e prodotto A × A⁻¹. L’identità ha uno sulla diagonale principale e zero altrove. La massima differenza assoluta dall’identità è mostrata separatamente usando l’inversa non arrotondata. La stima κ∞ = ‖A‖∞ ‖A⁻¹‖∞ misura la sensibilità a perturbazioni degli input; ogni norma infinito è la massima somma dei valori assoluti di una riga. Una stima elevata avverte che piccole variazioni o arrotondamenti possono cambiare molto la risposta.
Esempi
Esempio 1: scegli 2 × 2 e inserisci le righe (4, 7) e (2, 6). Il determinante è 10 e l’inversa ha righe (0.6, −0.7) e (−0.2, 0.4). Il prodotto dà le righe (1, 0) e (0, 1). Per esempio, il primo elemento è 4 × 0.6 + 7 × (−0.2) = 1.
Esempio 2: scegli 3 × 3 e inserisci la matrice diagonale con 2, 4 e 5 sulla diagonale e zero altrove. L’inversa ha diagonale 0.5, 0.25 e 0.2, il determinante è 40 e il prodotto è l’identità 3 × 3. Invece le righe (1, 2) e (2, 4) formano una matrice 2 × 2 singolare: non esiste inversa.
Limiti e risoluzione dei problemi
Gli elementi devono essere zero o avere valore assoluto da 1e−12 a 1e12, con punti decimali o notazione scientifica. Frazioni, simboli, matrici non quadrate e dimensioni superiori a 3 sono esclusi. Ogni campo attivo deve essere compilato: vuoto non significa zero. La singolarità viene stabilita sulle stringhe decimali esatte inserite; inversa e prodotto usano invece virgola mobile. Compare un avviso per κ∞ sopra 1e10 o errore di identità sopra 1e−8. Un prodotto arrotondato apparentemente corretto non garantisce precisione per una matrice mal condizionata. Conserva input originale ed errore insieme ai risultati copiati.
Usa al massimo 15 cifre significative in ingresso.
Domande frequenti
Un determinante minuscolo è sempre un problema?
No. Una matrice diagonale uniformemente piccola può essere ben condizionata. Scala e condizionamento contano più di una soglia fissa sul determinante.
Perché le griglie mostrate sono arrotondate?
I valori ordinari usano fino a due decimali per leggibilità. Quelli piccoli non nulli mantengono cifre aggiuntive. Le verifiche del prodotto usano l’inversa non arrotondata.
Cosa significa singolare?
Il determinante è zero e la trasformazione non può essere invertita in modo univoco. Il calcolatore mostra un errore e lascia Copia disabilitato.
Posso risolvere un grande sistema lineare qui?
No. La pagina calcola solo l’inversa della piccola matrice inserita. Non accetta un vettore dei termini noti né calcola una pseudoinversa.