Come usare il calcolatore di regressione esponenziale
- Inserisci i valori X nel primo campo e i corrispondenti valori Y positivi nel secondo. La posizione conta: il primo X corrisponde al primo Y, il secondo X al secondo Y e così via. Mantieni coerenti le unità e ometti intestazioni o simboli delle unità.
- Separa i valori con spazi, virgole o punti e virgola. Usa il punto decimale anche se la lingua del risultato usa normalmente la virgola. È accettata la notazione scientifica, per esempio 2e-3.
- Seleziona Calcola. Appare prima l’equazione, seguita da a, b, dal numero di coppie e dalla somma dei quadrati dei residui nello spazio logaritmico. Confronta i punti osservati con la curva stimata invece di interpretare un solo coefficiente.
- Copia risultati copia come testo il riepilogo numerico visualizzato. Modificare uno dei due elenchi rimuove subito il risultato confermato e disabilita Copia. Cancella svuota entrambi i campi, gli errori, il risultato e il grafico; nessun dato viene caricato o salvato.
Formula e interpretazione
Il modello è y = a·exp(bx), con a maggiore di zero. Applicando i logaritmi naturali si ottiene ln(y) = ln(a) + bx. Il calcolatore esegue i minimi quadrati ordinari sulle coppie (x, ln(y)). L’intercetta della retta stimata è ln(a), quindi la sua esponenziale dà a; la pendenza della retta è b.
L’obiettivo mostrato come SSE nello spazio logaritmico è Σ[ln(yᵢ) − ln(ŷᵢ)]². Un valore minore indica che, per questo stesso insieme di dati, la curva stimata è più vicina in termini logaritmici. Non è la somma dei quadrati delle differenze yᵢ − ŷᵢ sulla scala originale, quindi non va confrontata come se questa pagina avesse applicato i minimi quadrati non lineari sulla scala originale.
Per x = 0, il valore del modello è a. Un b positivo descrive una crescita esponenziale, un b negativo un decadimento esponenziale e b = 0 una curva costante. Internamente i coefficienti mantengono tutta la precisione del browser; l’arrotondamento si applica solo alla visualizzazione e alla copia. Il grafico usa la stessa stima non arrotondata.
Esempi svolti
Raddoppio esatto
Per X = 0, 1, 2 e Y = 1, 2, 4, ln(Y) vale 0, ln(2), 2ln(2). Il risultato stimato è a = 1 e b = ln(2) ≈ 0.69314718, quindi y = exp(0.69314718x). La curva passa per tutti e tre i punti e la SSE nello spazio logaritmico è 0, salvo piccole imprecisioni di visualizzazione in virgola mobile.
Risposta costante
Per X = −2, 0, 5 e Y = 3, 3, 3, ogni ln(Y) vale ln(3). La pendenza è b = 0 e a = 3, producendo la curva orizzontale y = 3. Riordinare queste coppie non modifica i coefficienti.
Usi, limiti e gestione degli errori
Questa stima è utile per esplorare crescita o decadimento moltiplicativi quando è adatto un modello log-lineare, per esempio una quantità che varia di un fattore approssimativamente costante per ogni unità di X. È un calcolatore descrittivo, non una prova che i dati derivino da un meccanismo esponenziale. Non fornisce valori p, intervalli di confidenza, previsioni automatiche o decisioni statistiche.
Servono almeno due coppie; gli elenchi devono avere la stessa lunghezza, ogni valore deve essere finito, tutti gli Y devono essere positivi e X deve contenere almeno due valori memorizzati distinti. Sono ammesse al massimo 200 coppie e valori assoluti fino a 1e100, con valori assoluti non nulli non inferiori a 1e-100. Se grandi scostamenti rendono indistinguibili valori X diversi nell’aritmetica del browser, ricentra X, per esempio sottraendo un anno comune, oppure scegli unità più adatte.
Anche dati finiti possono produrre un a, un b, un punto stimato o una coordinata del grafico non rappresentabili. In tal caso il calcolatore segnala un errore di intervallo numerico invece di mostrare Infinity, uno zero dovuto a underflow o una curva fuorviante. La copia è solo testo semplice e il grafico è una spiegazione a schermo; non sono previsti caricamenti di file, esportazione di immagini, account, database, API o cronologia salvata.
Domande frequenti
Perché Y deve essere positivo?
Qui il logaritmo naturale è definito solo per Y reali positivi. Zero e valori negativi di Y non possono essere usati in questa stima log-lineare.
È la stessa cosa dei minimi quadrati non lineari?
No. Questo calcolatore minimizza i residui al quadrato dopo aver trasformato Y con il logaritmo naturale. I minimi quadrati non lineari applicati direttamente ai valori Y originali usano un obiettivo diverso e possono restituire coefficienti diversi.
Che cosa significa b?
Per un aumento di una unità di X, il valore stimato viene moltiplicato per exp(b). Un b positivo indica crescita, uno negativo decadimento e zero nessuna variazione stimata.
Perché cambiare unità può modificare a?
Il valore a è l’Y stimato per x = 0. Spostare l’origine di X modifica quindi a pur descrivendo la stessa curva nelle nuove coordinate; anche b cambia se varia l’ampiezza di una unità di X.
L’ordine dei dati conta?
No, purché ogni X rimanga abbinato al suo Y corretto. Riordinare coppie complete lascia invariato il risultato dei minimi quadrati.
Come usare il risultato copiato?
Incolla l’equazione e i coefficienti in appunti o in un rapporto, specificando che la stima minimizza la SSE nello spazio logaritmico. Conserva insieme anche i dati originali e le unità; il riepilogo copiato non è una dichiarazione di confidenza né una previsione.