Calcolatore del prodotto scalare
Inserisci due vettori 2D o 3D per trovare il prodotto scalare e l'angolo tra le loro direzioni.
Inserisci le componenti dei vettori
I tuoi dati rimangono in questo browser.
Risultato
Inserisci le componenti, quindi seleziona Calcola.
- Prodotto scalare A · B
- Modulo |A|
- Modulo |B|
- Angolo tra A e B (gradi)
- Angolo tra A e B (radianti)
Come usare il calcolatore del prodotto scalare
Usa questo calcolatore quando conosci le componenti cartesiane di due vettori. Prodotto scalare e angolo sono risultati separati, perché un vettore nullo ha un prodotto scalare valido ma non una direzione.
- Scegli 2D o 3D. In 2D, solo x e y partecipano al calcolo.
- Inserisci tutte le componenti dei vettori A e B. Sono accettati valori negativi, zero, decimali e notazione scientifica.
- Seleziona Calcola per valutare i valori attuali.
- Leggi prodotto scalare, moduli di entrambi i vettori e angolo in gradi e radianti.
- Usa Copia risultato per copiare il calcolo mostrato. Cancella accanto ad A o B elimina solo le componenti di quel vettore, invalidando anche il risultato precedente e lo stato di copia.
Cosa indica il prodotto scalare
Per A = (a₁,a₂,a₃) e B = (b₁,b₂,b₃), il prodotto scalare è A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Il calcolo 2D omette semplicemente il terzo termine. Il risultato è uno scalare, non un altro vettore.
Un valore positivo indica che i vettori puntano generalmente verso lo stesso lato; uno negativo indica un angolo maggiore di 90°; zero indica che vettori non nulli sono perpendicolari. Il solo prodotto scalare nullo non dimostra direzioni perpendicolari se uno dei vettori è nullo.
Come viene calcolato l'angolo
Per due vettori non nulli, cos θ = (A · B)/(|A||B|). Il calcolatore usa i moduli euclidei e limita il coseno calcolato all'intervallo da −1 a 1 prima di applicare arccos, evitando falsi errori di dominio dovuti a piccoli residui in virgola mobile.
L'angolo restituito è il minore angolo non orientato, da 0° a 180°. Gradi e radianti descrivono lo stesso angolo. Se un modulo è zero, il prodotto scalare viene comunque mostrato, sempre zero, ma l'angolo è indicato esplicitamente come non definito perché il vettore nullo non ha direzione.
Usi, limiti ed errori comuni
- Verifica l'ortogonalità in geometria, coordinate o algebra lineare cercando un prodotto scalare nullo tra vettori non nulli.
- Confronta l'allineamento: vettori paralleli con lo stesso verso danno 0°, quelli di verso opposto 180°.
- Il lavoro meccanico può essere modellato dal prodotto scalare tra forza e spostamento, ma questa pagina esegue solo il calcolo vettoriale e non assegna unità fisiche.
- Non incollare parentesi, virgole, notazione i/j/k o un'espressione in un unico campo; inserisci una componente numerica per campo.
- I risultati mostrano al massimo due decimali, mentre i calcoli conservano la precisione numerica di JavaScript. È un calcolatore pratico, non un motore a precisione arbitraria.
Esempi svolti
A = (3,4) e B = (5,2): A · B = 3×5 + 4×2 = 23. I moduli sono 5 e √29, quindi l'angolo è circa 31.33° (0.55 rad).
A = (2,3) e B = (−3,2): A · B = −6 + 6 = 0. Entrambi sono non nulli, quindi l'angolo è 90° (1.57 rad).
A = (0,0,0) e B = (1,2,3): il prodotto scalare è 0, ma l'angolo non è definito.
Domande frequenti
Il prodotto scalare è un vettore?
No. Il prodotto scalare di due vettori è un singolo numero scalare.
Perché l'angolo non è definito quando il prodotto scalare è zero?
Non è definito solo quando almeno un vettore è nullo. Due vettori non nulli con prodotto scalare zero formano un angolo di 90°.
Scambiare A e B cambia il risultato?
No. A · B è uguale a B · A e l'angolo non cambia.
Posso calcolare vettori sia 2D sia 3D?
Sì. Scegli la dimensione prima di calcolare; i campi z appaiono solo in 3D.
Perché i decimali lunghi vengono abbreviati?
La visualizzazione usa al massimo due decimali per evitare residui in virgola mobile. Il calcolo usa internamente numeri non arrotondati.