Come calcolare e interpretare un determinante
Inserisci una matrice 2 × 2 o 3 × 3
Scegli la dimensione della matrice quadrata e inserisci ogni elemento. Qui il determinante è definito soltanto per matrici 2 × 2 e 3 × 3, quindi c'è un solo selettore di dimensione anziché controlli separati per righe e colonne. Sono accettati zero, numeri negativi e decimali. Una cella vuota non viene considerata zero: inserisci esplicitamente 0 quando fa parte della matrice.
Cambiare dimensione conserva le celle che restano nell'area comune in alto a sinistra e lascia vuote quelle nuove. Rimuove anche subito il determinante precedente. Lo stesso accade quando cambia una cella, evitando che un vecchio risultato scalare venga copiato dopo una modifica della matrice. Cancella A svuota matrice, errore, risultato e stato della copia, ma mantiene la dimensione scelta.
Comprendi la formula
Per A = [[a, b], [c, d]], det(A) = ad − bc. Moltiplica gli elementi della diagonale principale, quelli dell'altra diagonale e sottrai in quest'ordine. Non è la traccia: la traccia è a + d, una somma diagonale, mentre il determinante è una combinazione di prodotti con segno. La pagina riporta solo il determinante per non confondere le due quantità.
Per una matrice 3 × 3, il calcolatore sviluppa lungo la prima riga: a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg). Ogni parentesi è un determinante 2 × 2 e il termine centrale ha segno meno. L'implementazione numerica usa questa formula fissa invece di un motore di eliminazione di dimensioni arbitrarie. Questo mantiene chiaro l'ambito previsto e rende i due esempi riproducibili a mano.
Interpreta e verifica il risultato
Un determinante zero significa che la matrice quadrata è singolare: la sua trasformazione collassa area o volume e non ha inversa. Un determinante diverso da zero significa che la matrice è invertibile, anche se questa pagina non ne calcola l'inversa. Il valore assoluto dà il fattore di scala dell'area in due dimensioni o del volume in tre dimensioni. Il segno negativo indica anche un'inversione dell'orientamento.
Per un risultato 2 × 2, verifica direttamente ad − bc. Per una matrice triangolare 3 × 3, il determinante è il prodotto degli elementi diagonali: un rapido caso di verifica. Scambiare due righe cambia il segno del determinante e ripetere una riga lo rende zero. Copia risultato scrive lo scalare visualizzato e l'etichetta per usarli negli appunti; conserva la matrice originale se il contesto del calcolo è importante.
Esempi svolti
Calcola un determinante 2 × 2
Per A = [[1, 2], [3, 4]], calcola 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = -2. Il determinante è -2. Essendo diverso da zero, la matrice è non singolare; il segno negativo indica un'inversione dell'orientamento nella trasformazione piana associata.
Calcola un determinante 3 × 3
Per A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]], sviluppa lungo la prima riga: 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5) = -24 + 40 − 15 = 1.
Limiti e risoluzione dei problemi
Calcoli supportati e precisione
La pagina accetta soltanto matrici 2 × 2 e 3 × 3 con elementi numerici finiti. Non accetta matrici 1 × 1 o più grandi, frazioni testuali, variabili, espressioni simboliche, numeri complessi o notazione matriciale incollata.
Il determinante visualizzato usa normalmente al massimo due decimali ed elimina gli zeri finali. Un valore non nullo che altrimenti verrebbe arrotondato a 0 passa alla notazione scientifica compatta. Moltiplicazioni e addizioni interne usano numeri JavaScript fino alla formattazione finale. È adatto a piccoli controlli numerici, non a dimostrare un'uguaglianza esatta quando i decimali inseriti sono approssimati.
Errori e operazioni escluse
Compila ogni cella visibile e usa il punto per i decimali. Un errore numerico indica testo non supportato; un errore di intervallo o overflow indica il superamento del limite numerico di sicurezza. Valori riscalati più piccoli possono aiutare, ma ricorda che riscalare una riga riscala anche il determinante.
La pagina non calcola inversa, traccia, rango, autovalori, cofattori, RREF o sviluppo simbolico. Riporta normalmente un determinante zero senza considerare errore una matrice singolare. Usa le pagine separate di trasposizione o moltiplicazione per quelle operazioni.
Domande frequenti
Cosa significa determinante zero?
Significa che la matrice è singolare. Le sue righe o colonne sono linearmente dipendenti, la trasformazione collassa una dimensione e l'inversa non esiste. Zero è un risultato valido, non un errore di inserimento.
Il determinante è la somma della diagonale?
No. La somma della diagonale si chiama traccia. Il determinante usa prodotti con segno: ad − bc per 2 × 2 e uno sviluppo per cofattori per 3 × 3.
Posso calcolare un determinante per una matrice rettangolare?
No. I determinanti sono definiti per matrici quadrate. Questo calcolatore offre soltanto matrici quadrate 2 × 2 e 3 × 3.
Come vengono visualizzati i piccoli risultati decimali?
Un risultato non nullo troppo piccolo per la normale visualizzazione a due decimali usa la notazione scientifica compatta invece di apparire come zero. Per lavori che richiedono frazioni esatte o più cifre, usa un metodo di aritmetica esatta e conserva i valori originali.
Un determinante non nullo mi dà l'inversa?
Indica che l'inversa esiste, ma non la calcola. Calcolo dell'inversa e riduzione per righe sono volutamente esclusi dall'ambito di questa pagina.