Calcolatore del prodotto vettoriale
Inserisci due vettori 3D per calcolare A × B e il modulo del risultato perpendicolare.
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Risultato
Inserisci le componenti, quindi seleziona Calcola.
- Prodotto vettoriale A × B
- Modulo |A × B|
Come usare il calcolatore del prodotto vettoriale
Questa pagina calcola il prodotto vettoriale 3D ordinato A × B. L'ordine è visibile nel modulo e nel risultato perché invertirlo cambia il verso.
- Inserisci x, y e z del vettore A.
- Inserisci x, y e z del vettore B.
- Seleziona Calcola per ottenere A × B.
- Leggi le tre componenti del risultato e il modulo |A × B|.
- Copia il risultato se necessario. Cancella accanto ad A o B elimina solo le componenti di quel vettore e invalida il risultato precedente.
Formula e direzione del prodotto vettoriale
Per A = (a₁,a₂,a₃) e B = (b₁,b₂,b₃), A × B = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). Il risultato è un vettore 3D perpendicolare a entrambi i vettori iniziali quando non è nullo.
L'operazione non è commutativa: B × A = −(A × B). Il calcolatore segue sempre l'ordine mostrato A × B. La regola della mano destra descrive l'orientamento corrispondente, ma non serve una scena 3D interattiva per calcolare le componenti.
Modulo e risultato nullo
Il modulo è |A × B| = √(x²+y²+z²) per il vettore risultante. Geometricamente è anche |A||B|sin θ, cioè l'area del parallelogramma generato da A e B.
Vettori paralleli o di verso opposto producono il vettore nullo, perché sin 0° e sin 180° sono zero. Anche un vettore iniziale nullo dà zero. Il calcolatore lo riporta come risultato normale, non come errore; dal solo risultato non si distingue quale caso lo abbia causato.
Usi, limiti ed errori comuni
- Trova un vettore normale a un piano definito da due vettori direzione non paralleli.
- Verifica l'orientamento in geometria, grafica e calcoli ingegneristici, conservando l'ordine A × B.
- Usa il modulo come area del parallelogramma quando le componenti hanno unità di lunghezza compatibili.
- Questa pagina supporta solo componenti cartesiane 3D. Non aggiunge un'estensione scalare 2D, matrici, unità di momento torcente o un editor 3D.
- Inserisci un numero finito per campo. I valori mostrati sono arrotondati ad al massimo due decimali, mentre l'aritmetica interna mantiene la normale precisione in virgola mobile.
Esempi svolti
A = (1,2,3), B = (4,5,6): A × B = (−3,6,−3), con modulo √54 ≈ 7.35.
Invertendo i vettori si ottiene B × A = (3,−6,3), esattamente l'opposto del primo risultato.
A = (1,2,3), B = (2,4,6): i vettori sono paralleli e A × B = (0,0,0), con modulo 0.
Domande frequenti
Perché l'ordine conta?
Il prodotto vettoriale è anticommutativo: invertire i dati iniziali cambia segno a ogni componente del risultato.
Un prodotto vettoriale nullo è un errore?
No. È il risultato corretto per vettori paralleli o quando uno dei vettori iniziali è nullo.
Cosa rappresenta il modulo?
È la lunghezza del vettore perpendicolare risultante e l'area del parallelogramma generato dai vettori iniziali.
Posso usare vettori 2D?
Non in questa pagina. Il suo ambito è il prodotto vettoriale standard tra vettori 3D.
Il risultato dimostra la perpendicolarità?
Un prodotto vettoriale non nullo è perpendicolare a entrambi i vettori iniziali. Il vettore nullo non ha una direzione univoca.