Come si usa
Inserisci il numero fisso di prove n e la probabilità p di una prova. Scegli esattamente k successi, al massimo k, almeno k o un intervallo inclusivo. Per l’intervallo, il primo esito è il limite inferiore e l’ultimo campo quello superiore. Il risultato appare come decimale e percentuale, seguito da media, deviazione standard e una vista compatta della distribuzione.
Per esempio, con 10 prove e p = 0.5, esattamente 3 successi hanno probabilità 0.1171875. L’intervallo da 3 a 6 inclusi ha probabilità 0.7734375. Cambiare un dato cancella subito il risultato confermato, evitando di mostrare una risposta precedente come attuale.
Significato del calcolo
Il modello binomiale conta i successi in prove ripetute. La massa di probabilità per k è il coefficiente binomiale n su k moltiplicato per p elevato a k e per (1 − p) elevato alle prove restanti. Le probabilità cumulative e di intervallo sommano le masse incluse. Le code richieste vengono calcolate direttamente nello spazio logaritmico, evitando overflow dei fattoriali e riducendo la perdita di valori molto piccoli.
La media n × p è il centro nel lungo periodo, non un esito garantito. La deviazione standard √(np(1−p)) descrive la dispersione. Le barre raggruppano gli esiti solo per n grande; le etichette mostrano intervalli inclusivi e le altezze la probabilità raggruppata. Il risultato principale rimane la probabilità numerica richiesta.
Ipotesi e casi limite
Le prove devono essere indipendenti, avere esattamente due esiti mutuamente esclusivi e p costante. Campionamenti senza reinserimento da piccole popolazioni, probabilità variabili o eventi dipendenti possono richiedere un altro modello. Successo e fallimento sono etichette matematiche, non giudizi di valore.
n = 0 è ammesso e consente solo zero successi. Con p = 0 tutta la massa è a zero; con p = 1 è a n. I limiti sono protezioni computazionali, non indicano che esperimenti maggiori siano invalidi. Probabilità estremamente piccole possono usare notazione scientifica.
Esempi e interpretazione
Lanciando una moneta equa 20 volte, almeno 12 teste significa sommare gli esiti da 12 a 20. Con p = 0.02 su 100 elementi indipendenti, al massimo 1 elemento segnalato significa sommare 0 e 1. Verifica indipendenza e p costante prima di usare i risultati.
Una probabilità non prevede che si verifichi il conteggio scelto: quantifica il modello sotto le sue ipotesi. Conserva insieme n, p, evento richiesto e risultato quando copi, per rendere il calcolo riproducibile.
Domande frequenti
«Almeno k» include k? Sì, come «al massimo k»; un intervallo include entrambi gli estremi. Posso inserire p = 50? No, per cinquanta percento inserisci 0.5. Perché alcune barre sono raggruppate? Migliaia di esiti sarebbero illeggibili: il grafico raggruppa quelli adiacenti, mentre il numero usa ogni massa intera. È lo sviluppo di (a+b)^n? No. I coefficienti correlati compaiono nella formula, ma qui si calcolano probabilità, non sviluppi algebrici.