Calcolatore dello sviluppo di un binomio
Inserisci a, b e n per sviluppare (ax + b)ⁿ in un polinomio standard in x. I valori negativi di b producono i corretti segni alternati.
Risultato dello sviluppo binomiale
Inserisci i coefficienti, poi seleziona Calcola.
- Binomio interpretato
- —
- Coefficienti del risultato (grado decrescente)
- —
I risultati decimali vengono mostrati con fino a due decimali; i coefficienti significativi più piccoli e non nulli usano la notazione scientifica. I calcoli interi sono accettati solo finché ogni intero resta rappresentabile esattamente.
Come sviluppare (ax + b)ⁿ
Questo calcolatore applica il teorema binomiale finito a un binomio lineare in x. Restituisce un polinomio sviluppato e il suo elenco di coefficienti decrescenti senza interpretare un'espressione generale.
- Inserisci a, il coefficiente che moltiplica x. Per x + 3 usa a = 1; per −x + 3 usa a = −1.
- Inserisci b, il termine costante. Per sviluppare una differenza come (2x − 3)⁴, inserisci b = −3.
- Inserisci n come intero da 0 a 20, poi seleziona Calcola.
- Verifica il binomio originale e lo sviluppo mostrati. Copia il polinomio etichettato se necessario; modificare un campo cancella il risultato precedente.
Il teorema binomiale finito usato dal calcolatore
Per un intero non negativo n, (ax + b)ⁿ è la somma da k = 0 a n di C(n,k)(ax)ⁿ⁻ᵏbᵏ. Il coefficiente binomiale C(n,k), letto «n su k», fornisce il noto schema del triangolo di Tartaglia. La potenza di x parte da n e scende di uno a ogni termine, mentre quella di b sale da zero a n.
Sostituendo a e b numerici, il coefficiente di xⁿ⁻ᵏ è C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ. Il calcolatore elabora tutte le n + 1 posizioni, omette le posizioni nulle nella notazione standard e riporta anche l'elenco decrescente completo. Non interpreta né moltiplica ripetutamente un'espressione digitata.
Esempi svolti con costanti positive e negative
Per (2x − 3)⁴, la riga 1, 4, 6, 4, 1 viene combinata con le potenze di 2 e −3. Lo sviluppo è 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81 e l'elenco decrescente è 16, -96, 216, -216, 81. Le potenze dispari di b negativo creano termini negativi; quelle pari creano termini positivi.
Per (x + 1)³, i coefficienti 1, 3, 3, 1 danno x³ + 3x² + 3x + 1. I coefficienti uguali a 1 sono mostrati convenzionalmente come x³ o x anziché 1x³ o 1x, mentre −1 è mostrato con un segno meno. L'elenco dei coefficienti contiene comunque i numeri uno.
Coefficienti nulli ed esponente zero
Il caso limite n = 0 restituisce 1, anche quando a o b è zero, secondo la convenzione polinomiale finita di questo strumento. Quando a = 0 e n è positivo, il risultato si riduce alla costante bⁿ. Quando b = 0 e n è positivo, resta solo il termine principale aⁿxⁿ. I termini intermedi nulli scompaiono dal polinomio leggibile ma restano rappresentati dalle loro posizioni nell'elenco dei coefficienti.
Questo trattamento mantiene compatti potenze e segni mostrati senza perdere la corrispondenza tra dati e risultato. Evita anche di trattare un termine mancante come una potenza spostata, cosa importante se copi l'elenco nel calcolatore di polinomi.
Intervallo supportato, precisione e sviluppi esclusi
L'esponente deve essere un intero da 0 a 20. a e b devono essere numeri finiti. I dati interi sono accettati solo nell'intervallo esatto sicuro e la risposta viene rifiutata se un coefficiente intero ne esce. I coefficienti decimali usano l'aritmetica numerica del browser e sono mostrati con al massimo due decimali; quelli significativi più piccoli e non nulli usano la notazione scientifica. Usa a o b più piccoli se il risultato supera l'intervallo finito o esatto supportato.
Lo strumento sviluppa solo (ax + b)ⁿ nella singola variabile x. Non accetta esponenti negativi o frazionari, più variabili, espressioni annidate, una formula generale come stringa, serie binomiali infinite, scomposizioni, radici o grafici. Queste esclusioni rendono prevedibili i dati e collegano direttamente ogni termine restituito al teorema dichiarato.
Domande frequenti
Come inserisco (ax − b)ⁿ?
Inserisci il secondo termine come numero negativo. Per (2x − 3)⁴, usa a = 2, b = −3 e n = 4.
Perché ci sono al massimo n + 1 posizioni di coefficienti?
Il teorema finito ha un termine per ogni k da 0 a n. Alcuni termini mostrati possono scomparire quando il coefficiente è zero.
Che cosa succede quando n è zero?
Il calcolatore restituisce 1. È il caso limite n = 0 del teorema finito usato per lo sviluppo polinomiale.
n può essere negativo o frazionario?
No. Questi casi richiedono una serie infinita o altre definizioni e sono fuori dall'ambito di questo strumento di sviluppo finito.
Perché un dato grande è stato rifiutato?
Almeno un coefficiente non era finito o un intero non era più rappresentabile esattamente. Riduci a, b o n e calcola di nuovo.