Mode d’emploi
- Saisissez les coordonnées x, y et z de P.
- Saisissez a, b, c et d dans ax + by + cz + d = 0, après avoir placé tous les termes à gauche.
- Calculez puis comparez P et H, le point du plan le plus proche, sur le dessin.
Utilisez une même unité de longueur pour toutes les coordonnées. Changer son libellé ne convertit pas les nombres. La notation 1e-4 est acceptée, mais pas les expressions algébriques.
Le dessin se met à jour dès que les saisies décrivent une géométrie valide. Une valeur absente ou invalide le masque jusqu’à ce que les données soient prêtes. Modifier efface le résultat numérique précédent et désactive la copie. Cliquez sur Calculer pour confirmer les valeurs, puis copiez-les en texte. Effacer vide les nombres et conserve les sélections.
Formule et interprétation
Le plus court chemin est perpendiculaire au plan et parallèle à sa normale n = (a, b, c). La valeur absolue de l’expression du plan en P, divisée par la longueur de la normale, donne une distance positive ou nulle. H est le point du plan le plus proche de P.
D = |aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d| / √(a² + b² + c²). H = P − [(aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d)/(a² + b² + c²)](a,b,c).
Exemple détaillé
Pour P = (2, 3, 7) et z − 2 = 0, saisissez a = 0, b = 0, c = 1, d = −2. H = (2, 3, 2) et la distance vaut 5 unités. Le segment en pointillés relie P à H.
Pour P = (1, 2, 3) et le plan incliné x + 2y + 2z − 3 = 0, le numérateur vaut 8 et la longueur de la normale 3. La distance est 8/3 ≈ 2,67 unités et H = (1/9, 2/9, 11/9). Les coordonnées affichées sont arrondies ; une substitution précise nécessite les valeurs non arrondies.
Usages et limites
Pour la géométrie analytique ou un écart par rapport à une surface plane idéale. La distance à une face triangulaire limitée est une autre question : H peut se trouver en dehors de la face.
Les calculs utilisent des nombres à virgule flottante. Les résultats usuels affichent au plus deux décimales, et les petites valeurs non nulles une notation scientifique. Les équations utilisent jusqu’à 12 chiffres significatifs et peuvent être arrondies. Entrées : zéro ou valeurs absolues de 10⁻⁹ à 10⁹ ; résultats limités à 10¹⁵.
Le dessin est une projection orthographique ajustée à la géométrie. Les angles et longueurs ne sont pas tous conservés à l’écran. Les petits axes donnent l’orientation, pas la position de l’origine. Consultez les valeurs dans les résultats.
Questions fréquentes
Pourquoi la distance vaut-elle zéro ?
P appartient déjà au plan. P et H se confondent et le segment perpendiculaire a une longueur nulle.
Multiplier les coefficients change-t-il le résultat ?
Multiplier les quatre par un même facteur non nul conserve le plan et la distance. En modifier un seul change généralement le plan.
Pourquoi refuser une normale nulle ?
Avec a = b = c = 0, l’expression constante ne définit pas un plan unique. Au moins une composante doit être non nulle.
Comment utiliser les nombres copiés ?
Collez-les dans vos notes ou exercices pour vérifier le calcul, avec l’unité et les entrées d’origine. Les coordonnées arrondies ne remplacent pas des valeurs symboliques exactes. En cas de refus pour manque de précision, translatez ou redimensionnez les coordonnées. Un résultat vide ne signifie pas zéro.