Calculateur de diagonalisation de matrice
Calculez P, D et P⁻¹ pour une matrice réelle 2×2 et vérifiez A = PDP⁻¹.
Résultat
Calculez pour afficher le résultat.
Mode d’emploi
- Saisissez les quatre coefficients par ligne. L’exemple [4, 1; 0, 2] est directement calculable.
- Calculez la base de vecteurs propres P et la diagonale D correspondante. Les vecteurs sont les colonnes de P.
- Vérifiez la reconstruction et les résidus. La copie inclut les matrices et les contrôles. Toute modification invalide le résultat précédent.
Exemple de calcul
Pour A = [4, 1; 0, 2], les valeurs propres sont 4 et 2. On peut choisir P = [1, −1/√5; 0, 2/√5] et D = [4, 0; 0, 2]. PDP⁻¹ redonne A.
Limites et interprétation
Les matrices réelles 2×2 symétriques et non symétriques sont prises en charge. Le discriminant est classé exactement pour les décimales admises, puis P et P⁻¹ sont calculées en virgule flottante. Réutiliser les valeurs affichées arrondies peut augmenter les résidus. Les erreurs relatives utilisent la norme infinie. Aucune décomposition si κ∞(P) dépasse 10⁸ ou si une erreur de contrôle dépasse 10⁻⁸.
Questions fréquentes
Une valeur propre double empêche-t-elle toujours de diagonaliser ?
Non. Pour λI, on utilise P = I. Une matrice 2×2 non scalaire avec valeur propre double n’est pas diagonalisable. Essayez [2, 1; 0, 2].
Pourquoi une autre solution donne-t-elle une P différente ?
On peut changer l’échelle, le signe et l’ordre des vecteurs propres. D doit respecter l’ordre des colonnes de P.
Les matrices 3×3 ou complexes sont-elles admises ?
Non. Un discriminant négatif exclut la diagonalisation réelle. Une décomposition complexe peut exister, mais n’est pas calculée ici.