Mode d’emploi
Une matrice inverse annule l’effet d’une transformation linéaire inversible. Cette page traite des matrices numériques carrées 2 × 2 et 3 × 3 pour vérifier de petits exercices et des transformations de coordonnées. Choisissez la taille avant la saisie. L’étiquette aij indique la ligne i et la colonne j à partir de 1. Gardez l’ordre des lignes : transposer ou permuter les entrées modifie la matrice et généralement son inverse.
Remplacez les exemples modifiables par vos données, choisissez la comparaison ou la dimension si nécessaire, puis appuyez sur Calculer. La touche Entrée soumet le même formulaire. Le résultat n’est confirmé qu’après cette action. Modifier un nombre ou une sélection efface la réponse précédente et désactive la copie pour éviter toute confusion. Effacer vide les champs numériques tout en conservant le mode choisi. Après le calcul, Copier le résultat copie les données et les valeurs obtenues en texte brut. Si le presse-papiers est bloqué, sélectionnez le texte affiché. Les valeurs pâles forment un exemple calculable. Le premier focus dans un champ numérique efface tous les exemples une seule fois. Vos saisies suivantes sont conservées.
Méthode et lecture du résultat
Pour les lignes (a, b) et (c, d), le déterminant est ad − bc et l’inverse a pour lignes (d, −b) et (−c, a), divisées par ce déterminant. En 3 × 3, les cofacteurs forment la matrice adjointe, divisée par le déterminant. Les décimales sont ramenées à une échelle entière commune pour calculer exactement déterminant et cofacteurs avant la sortie numérique. Un petit déterminant non nul n’est pas automatiquement assimilé à zéro.
Les trois grilles alignées montrent A, A⁻¹ et A × A⁻¹. L’identité contient des uns sur la diagonale principale et des zéros ailleurs. L’écart absolu maximal à l’identité est indiqué séparément, à partir de l’inverse non arrondie. κ∞ = ‖A‖∞ ‖A⁻¹‖∞ estime la sensibilité ; chaque norme est la plus grande somme absolue d’une ligne. Une grande valeur avertit que de petites variations de saisie ou d’arrondi peuvent fortement modifier la réponse.
Exemples
Exemple 1 : en 2 × 2, les lignes (4, 7) et (2, 6) donnent un déterminant de 10 et une inverse de lignes (0.6, −0.7) et (−0.2, 0.4). Le produit a pour lignes (1, 0) et (0, 1). Son premier élément est 4 × 0.6 + 7 × (−0.2) = 1.
Exemple 2 : en 3 × 3, saisissez la diagonale 2, 4, 5 et des zéros ailleurs. La diagonale inverse vaut 0.5, 0.25, 0.2, le déterminant 40 et le produit est l’identité. En revanche, les lignes (1, 2) et (2, 4) forment une matrice 2 × 2 singulière sans inverse.
Limites et dépannage
Les entrées sont nulles ou de valeur absolue entre 1e−12 et 1e12, avec point décimal ou notation scientifique. Fractions, symboles, matrices non carrées et tailles supérieures à 3 sont exclus. Remplissez chaque champ actif : vide ne signifie pas zéro. La singularité porte sur les chaînes décimales exactes saisies ; inverse et produit sont numériques. Un avertissement apparaît si κ∞ dépasse 1e10 ou si l’erreur identité dépasse 1e−8. Un produit arrondi apparemment correct ne garantit pas la précision d’une matrice mal conditionnée. Conservez données et erreur avec le résultat copié.
Utilisez au plus 15 chiffres significatifs en entrée.
Questions fréquentes
Un très petit déterminant est-il toujours mauvais ?
Non. Une diagonale uniformément petite peut être bien conditionnée. Échelle et conditionnement comptent davantage.
Pourquoi arrondir les grilles ?
Deux décimales au maximum facilitent la lecture, sauf pour les petites valeurs non nulles. La vérification utilise l’inverse non arrondie.
Que signifie singulière ?
Le déterminant vaut zéro et aucune inversion unique n’existe. Une erreur est affichée et la copie reste désactivée.
Peut-on résoudre un grand système ?
Non. Cette page calcule seulement cette petite inverse, sans second membre ni pseudo-inverse.