Mode d’emploi
La loi hypergéométrique compte les succès d’un échantillon aléatoire de taille fixée sans remise. Elle convient aux exercices d’urnes, de cartes et de populations finies. Un succès désigne la catégorie comptée, pas nécessairement un résultat souhaitable.
- Saisissez des entiers pour N, K, n et k, puis choisissez l’événement à mettre en évidence. N’utilisez pas de séparateur de milliers.
- Choisissez Calculer ou appuyez sur Entrée. Consultez ensemble le résultat, le graphique et le tableau détaillé.
- Copier le résultat copie les nombres confirmés en texte brut. Modifier une entrée efface le résultat et l’état de copie précédents, tandis que le graphique montre les entrées valides actuelles. Effacer vide entrées, résultats et graphique sans rétablir l’exemple.
Méthode de calcul
N est la population totale, K les éléments favorables, n les tirages et k les succès visés. P(X = k) = C(K,k) × C(N−K,n−k) / C(N,n). Le support va de max(0,n−(N−K)) à min(n,K). Hors support, la probabilité ponctuelle est nulle.
Au plus k inclut k ; plus de k l’exclut. Le choix colore les barres correspondantes. Résultats, tableau et graphique utilisent la même loi. Les poids logarithmiques voisins évitent les débordements de factorielles. Les probabilités minuscules utilisent une notation scientifique.
Exemples
N = 10, K = 4, n = 3, k = 2 : 120 échantillons équiprobables, dont 36 avec deux succès. P(X = 2) = 0,3 ; P(X ≤ 2) = 116/120 ≈ 0,96666667 et P(X > 2) = 4/120 ≈ 0,03333333.
N = 5, K = 5, n = 2, k = 2 : tous les objets sont favorables. Seul 2 est possible, avec probabilité 1 et variance 0. Plus de 2 vaut 0.
Usages et limites
Entiers seulement : 0 ≤ K ≤ N ≤ 10 000 et 0 ≤ k ≤ n ≤ min(N,200). Cette limite permet d’afficher le support complet sans queue masquée. N = 0 impose K = n = k = 0, l’échantillon vide. Pour N = 1 ou un résultat déterministe, la variance est nulle.
Les échantillons de même taille doivent être équiprobables et les objets non remis. Avec remise, un modèle binomial peut convenir. Outil pédagogique, sans garantie de décision réelle. Une valeur proche de un peut être arrondie à un ; consultez la queue opposée calculée séparément.
Questions fréquentes
Pourquoi un k valide peut-il avoir une probabilité nulle ?
Il peut manquer assez de succès ou d’échecs pour former ce tirage. Le support indique les comptes réalisables.
Plus de k inclut-il k ?
Non. X > k et X ≤ k sont complémentaires et totalisent un avant arrondi.
L’espérance doit-elle être entière ?
Non. nK/N est une moyenne sur des tirages répétés, alors que chaque compte observé est entier.
Les probabilités minuscules sont-elles copiées ?
Oui, avec toute la table et la même notation. Les logarithmes préservent les valeurs qu’une représentation décimale ordinaire ferait sous-déborder.