Mode d’emploi
Calculez le premier succès lors d’essais indépendants de même probabilité p. Saisissez p entre zéro et un, par exemple 0,25 pour 25%, puis le numéro d’essai k. L’essai réussi est inclus : k commence à un. Choisissez exactement k, au plus k ou plus de k, puis calculez les probabilités et les barres correspondantes.
Comprendre les probabilités
P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p signifie k−1 échecs puis un succès. P(X≤k)=1−(1−p)ᵏ est la probabilité d’au moins un succès en k essais. P(X>k)=(1−p)ᵏ signifie que les k premiers essais échouent. L’espérance vaut 1/p et la variance (1−p)/p².
Exemples de calcul
Pour p=0,25 et k=3, le premier succès au troisième essai vaut 14,06%. Réussir en au plus trois essais vaut 57,81%, et nécessiter plus de trois essais 42,19%. L’espérance est quatre essais ; cela ne rend pas le quatrième essai le premier succès le plus probable.
Pour p=0,5 et k=1, exactement un essai et plus d’un essai ont chacun une probabilité de 50%. Espérance et variance valent deux. Si p=1, le premier essai réussit certainement et un premier succès ultérieur est impossible.
Usages et limites
Plages : 0,000000001≤p≤1 et k entier de 1 à 1 000 000 000. p=0 est exclu car aucun succès ne survient et l’espérance n’est pas finie. Point ou virgule décimale, sans séparateur de milliers. Entrées vides, négatives ou non entières : erreur. Dépendance, p variable et tirage sans remise nécessitent un autre modèle.
Questions fréquentes
k compte-t-il les échecs ?
Non. Certains ouvrages comptent les échecs avant le succès à partir de zéro. Ici, tous les essais jusqu’au premier succès inclus sont comptés à partir de un. Pour trois échecs puis un succès, saisissez k=4.
Pourquoi les barres s’arrêtent-elles à 31 ?
Les 31 premiers essais individuels restent ainsi distincts. La probabilité restante est indiquée séparément. Avec un petit p, l’essentiel de la probabilité peut être hors fenêtre. Une barre absente ne signifie jamais une probabilité nulle.
Pourquoi l’espérance n’est-elle pas entière ?
C’est une moyenne à long terme de nombreuses expériences, qui peut être décimale. Chaque nombre d’essais reste entier. L’essai un est le premier succès le plus probable, même avec une longue attente moyenne.
Comment fonctionnent précision et boutons ?
La précision interne est conservée. Affichage ordinaire à deux décimales au plus, notation scientifique pour les petites probabilités positives et < 1E−300 sous la résolution numérique. Copier inclut p, k et résultats confirmés. Modifier invalide nombres et graphique jusqu’au recalcul ; Effacer vide les champs numériques.