Anleitung
Zerlege den ursprünglichen Vektor u in einen Anteil p entlang des Bezugsvektors v und einen senkrechten Rest r. Wähle 2D für x und y, oder 3D für zusätzliche z-Koordinaten. Beide Vektoren benötigen dasselbe Koordinatensystem und passende Einheiten. Die Reihenfolge ist wichtig: u wird projiziert, v bestimmt die Zielrichtung. So lassen sich Geometrie, gerichtete Bewegung und Komponenten prüfen, ohne v zuvor selbst zu normieren.
Ersetze die Beispielwerte durch eigene Daten, wähle gegebenenfalls Vergleich oder Dimension und drücke Berechnen. Die Eingabetaste sendet dasselbe Formular ab. Erst dann wird ein Ergebnis bestätigt. Jede Zahlenänderung oder andere Auswahl entfernt das vorige Ergebnis und deaktiviert Ergebnis kopieren, damit keine alte Antwort als aktuell erscheint. Leeren entfernt die Zahlen und behält den gewählten Modus. Nach erfolgreicher Berechnung kopiert Ergebnis kopieren Eingabe und numerische Ausgabe als Text. Ist der Zugriff auf die Zwischenablage gesperrt, markiere den sichtbaren Text. Helle Werte sind ein ausführbares Beispiel. Beim ersten Fokus auf ein Zahlenfeld werden alle Beispielzahlen einmal geleert. Eigene Eingaben bleiben danach erhalten. Eingabevorschau — Berechnen bestätigt das Ergebnis.
Berechnung und Ergebnis lesen
Es gilt p = (u · v)/(v · v) v und r = u − p. Gleichwertig wird v zum Einheitsvektor d normiert, der vorzeichenbehaftete Skalar s = u · d berechnet und p = sd gesetzt. Diese Form verwendet die Implementierung. Der Skalar ist nicht immer die nichtnegative Projektionslänge; diese beträgt |s|. In exakter Arithmetik ist r · v = 0, der Rest steht also senkrecht zur Bezugsrichtung.
Die Ausgabe enthält Projektion, Skalar, Rest, dessen Skalarprodukt und relativen Orthogonalitätsfehler. Der relative Fehler ist bei großen Vektoren nützlich, weil ein absolutes Skalarprodukt allein irreführen kann. Im Diagramm beginnen u und v im Ursprung, p liegt auf der Bezugslinie und r verläuft von der Spitze von p zur Spitze von u. So wird p + r = u als Vektorsumme sichtbar. Durchgezogene und gestrichelte Linien sowie Beschriftungen unterscheiden die Vektoren unabhängig von Farben.
Beispiele
Beispiel 1: 2D, u = (3, 4), v = (1, 0) ergibt p = (3, 0), s = 3, r = (0, 4) und r · v = 0. Gleiche Achsenmaßstäbe erhalten den rechten Winkel zwischen horizontalem Bezug und vertikalem Rest.
Beispiel 2: 3D, u = (2, −1, 3), v = (0, 0, −2) ergibt p = (0, 0, 3), s = −3 und r = (2, −1, 0). Der negative Skalar bedeutet, dass p entgegen v zeigt, obwohl seine Länge 3 ist. Das geprüfte Skalarprodukt ist null.
Grenzen und Fehlerbehebung
Nur zwei oder drei reelle Komponenten werden unterstützt. v darf nicht null sein, u schon. Verwende einen Dezimalpunkt. Werte sind null oder Beträge von 1e−12 bis 1e12. Gewöhnliche Ergebnisse haben bis zu zwei Dezimalstellen, kleine Werte ungleich null zusätzliche Stellen. Intern wird ungerundet gerechnet. Die 3D-Darstellung ist eine parallele Projektion auf (x − 0.6z, y − 0.4z): Winkel und Längen werden verzerrt, verschiedene Punkte können überlappen. Prüfe Rechtwinkligkeit am Skalarprodukt statt am Bildschirmwinkel. Kopiert werden Werte, kein Bild.
Höchstens 15 signifikante Eingabeziffern verwenden.
Häufige Fragen
Ändert positives Skalieren von v die Projektion?
Nein. Nur die Länge von v ändert sich, nicht die Linie oder p.
Was bewirkt die Umkehr von v?
Der Skalar wechselt das Vorzeichen; Projektion und Rest bleiben gleich.
Kann die Projektion null sein?
Ja. Steht u senkrecht zu v, ist p null und der gesamte Vektor u der Rest.
Warum verschwindet z?
2D blendet z aus und ignoriert es. Beim Wechsel zu 3D erscheint das Feld wieder; erneut berechnen.