Anleitung
- Wähle Mittelpunkt und Radius oder ausmultiplizierte Koeffizienten.
- Gib A, B, C, D für x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 ein. Die drei quadratischen Koeffizienten müssen 1 sein.
- Berechne beide Gleichungsformen und vergleiche sie mit der Zeichnung.
Verwende für alle Koordinaten dieselbe Längeneinheit. Eine andere Einheitenbeschriftung rechnet die Zahlen nicht um. Zahlen wie 1e-4 sind erlaubt, algebraische Ausdrücke nicht.
Die Zeichnung aktualisiert sich, sobald die Eingaben eine gültige Geometrie beschreiben. Bei fehlenden oder ungültigen Werten bleibt sie bis zur vollständigen Eingabe ausgeblendet. Änderungen löschen das bisherige Zahlenergebnis und deaktivieren Ergebnis kopieren. Berechnen bestätigt die aktuellen Werte zum Kopieren als Text. Leeren entfernt Zahlen und behält die Auswahl bei.
Formel und Bedeutung
Jeder Punkt der Kugeloberfläche hat den Abstand r zum Mittelpunkt (h, k, l). Ausmultiplizieren liefert die linearen Koeffizienten, quadratische Ergänzung führt zurück zum Mittelpunkt und Radius. Freie Gleichungstexte werden nicht ausgewertet.
(x − h)² + (y − k)² + (z − l)² = r². A = −2h, B = −2k, C = −2l; D = h² + k² + l² − r². r² = (A² + B² + C²)/4 − D.
Rechenbeispiel
Mittelpunkt (1, −2, 3), Radius 4: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16. Ausmultipliziert: x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0. Mit A = −2, B = 4, C = −6, D = −2 erhältst du dieselben Ausgangsdaten.
A = 0, B = 0, C = 0, D = −9 ergeben x² + y² + z² − 9 = 0. Mittelpunkt ist (0, 0, 0), Radius 3. Mit D = 1 wäre r² = −1 erforderlich, also kein reeller Radius.
Anwendung und Grenzen
Zum Prüfen quadratischer Ergänzungen; Volumen und Oberfläche werden nicht berechnet. Haben die Quadratterme denselben Koeffizienten ungleich null, teile zuerst die ganze Gleichung durch ihn. Ungleiche quadratische Koeffizienten beschreiben eine andere Fläche.
Die Berechnung nutzt Gleitkommazahlen. Übliche Ergebnisse haben bis zu zwei Nachkommastellen; kleine Werte ungleich null erscheinen wissenschaftlich. Gleichungen zeigen bis zu 12 signifikante Stellen und können gerundet sein. Erlaubt sind null oder Beträge von 10⁻⁹ bis 10⁹; Ergebnisse sind auf 10¹⁵ begrenzt.
Die orthografische Zeichnung passt sich der Geometrie an. Nicht alle Winkel und Längen bleiben auf dem Bildschirm erhalten. Die kleinen Achsen zeigen die Orientierung, nicht den Ursprung. Koordinaten und Abstände stehen im Ergebnis.
Häufige Fragen
Was bedeutet Radius null?
Es bleibt nur der Mittelpunkt. Diese entartete Kugel wird akzeptiert und als Punkt gezeichnet.
Was bedeutet negatives r²?
Es gibt keine reelle Kugel. Das unterscheidet sich von einem direkt eingegebenen negativen Radius, der ungültig ist.
Kann ein großer Mittelpunkt einen kleinen Radius verdecken?
Ja, die Differenz fast gleicher großer Zahlen kann Genauigkeit verlieren. Verwende möglichst Mittelpunkt und Radius oder verschiebe und skaliere die Koordinaten.
Wie verwende ich die kopierten Zahlen?
Füge sie als Rechenkontrolle in Notizen oder Aufgaben ein und bewahre Einheit und ursprüngliche Eingaben auf. Gerundete Koordinaten sind keine exakten symbolischen Werte. Wird eine Berechnung wegen Genauigkeitsproblemen abgelehnt, verschiebe oder skaliere die Koordinaten. Ein leeres Ergebnis bedeutet nicht null.