So funktioniert die Polynomdivision
Was dieser Rechner berechnet
Die Polynomdivision zerlegt einen Dividenden in Divisor mal Quotient plus Rest. Dieser Rechner hilft Lernenden beim Prüfen von Algebraaufgaben und Lehrkräften beim Erstellen gelöster Beispiele. Er akzeptiert zwei ausmultiplizierte Polynome in x und zeigt die vollständige Rechnung, auch mit Bruchkoeffizienten. Du musst keine Nullterme ergänzen oder die Terme sortieren. Gleichartige Terme werden zusammengefasst und die Potenzen geordnet. Das Ergebnis ist eine exakte Polynomidentität, kein Zahlenwert für x und keine Lösung einer Gleichung.
So verwendest du die beiden Eingabefelder
Trage das zu teilende Polynom als Dividend und das Polynom, durch das geteilt wird, als Divisor ein. Verwende zum Beispiel x^3 - 2x^2 - 4x + 8 und x - 3. Wähle Berechnen oder drücke in einem Feld die Eingabetaste. Lies zuerst Quotient und Rest und verfolge danach die Rechenschritte. Sobald du ein Feld bearbeitest, verschwindet das alte Ergebnis, damit es nicht zur neuen Eingabe gerechnet wird. Beispiele ersetzen Eingaben erst nach Bestätigung. Eingaben löschen entfernt beide Ausdrücke und das Ergebnis.
Schreibweise und exakte Koeffizienten
Schreibe Potenzen mit ^: x^3 bedeutet x hoch drei. Sowohl 3x als auch 3*x sind erlaubt. Trenne Terme durch + oder -; ein negativer erster Term beginnt mit -. Schreibe Zahlenbrüche etwa als 1/2x und Dezimalzahlen als 0.5x. Beide Koeffizienten stehen für dieselbe rationale Zahl. In allen Sprachen wird ein Dezimalpunkt verwendet, kein Komma. Klammern, Produkte von Polynomen, Funktionen, andere Variablen, negative oder gebrochene Exponenten sowie wissenschaftliche Schreibweise werden nicht unterstützt. Multipliziere Produkte vor der Eingabe aus.
Warum die einzelnen Schritte funktionieren
Dividiere den führenden Term des aktuellen Rests durch den führenden Term des Divisors. Das ergibt den nächsten Quotiententerm. Multipliziere ihn mit dem gesamten Divisor und ziehe dieses ganze Produkt vom aktuellen Rest ab. Die führenden Terme heben sich auf und der Grad sinkt. Wiederhole das, bis der Rest null ist oder einen kleineren Grad als der Divisor hat. Jede Karte zeigt diese drei Operationen. Fehlende Potenzen haben den Koeffizienten null, auch wenn sie nicht angezeigt werden. Subtrahiert wird immer vom aktuellen Rest, nicht vom ursprünglichen Dividenden.
Beispiel 1: ein Rest ungleich null
Bei x^3 - 2x^2 - 4x + 8 geteilt durch x - 3 ist der Quotient x^2 + x - 1 und der Rest 5. Die aufeinanderfolgenden Reste lauten x^2 - 4x + 8, dann -x + 8 und schließlich 5. Zur Probe multiplizierst du (x - 3)(x^2 + x - 1) und addierst 5: Das ursprüngliche Polynom entsteht wieder. Als rationaler Ausdruck lautet das Ergebnis x^2 + x - 1 + 5/(x - 3), wobei x ≠ 3 gilt.
Beispiel 2: Bruchkoeffizienten
Teile 1/2x^2 + 3/4x + 1/4 durch x + 1. Der Quotient ist 1/2x + 1/4, der Rest 0. Der erste Quotiententerm ist 1/2x; nach Subtraktion seines Produkts bleibt 1/4x + 1/4. Der nächste Term 1/4 beseitigt diesen Rest. Auch die Eingabe 0.5x^2 + 0.75x + 0.25 führt zu denselben gekürzten Brüchen. So kannst du eine Aufgabe mit Dezimalzahlen ohne Rundungsfehler mit einer Bruchlösung vergleichen.
Grenzen und typische Fehler
Jedes Feld erlaubt 500 Zeichen und 60 Terme mit ganzzahligen Exponenten von 0 bis 20. Jede Zahl darf neun Ziffern einschließlich Nachkommastellen haben; Zähler und Nenner werden getrennt gezählt. Exakte Zwischenzähler und -nenner sind auf 2.000 Ziffern begrenzt. Ein Divisor wie x - x, der sich zu null vereinfacht, wird abgewiesen. Auch ein Bruchnenner darf nicht null sein. Korrigiere das markierte Feld; dein Ausdruck bleibt erhalten. Achte besonders auf Vorzeichen: Das Subtrahieren eines negativen Koeffizienten addiert dessen positiven Betrag.
Lösung kopieren und weiterverwenden
Lösung kopieren übernimmt die vereinfachten Eingaben, Quotient, Rest, geprüfte Identität und alle Schritte als einfachen Text. Potenzen verwenden ^, Koeffizienten gekürzte Brüche. Das bleibt in Notizen und Nachrichten lesbar. Im ausklappbaren Lösungstext kannst du manuell kopieren, falls der Zugriff auf die Zwischenablage nicht verfügbar ist. Die Berechnung erfolgt im Browser, ohne deine Ausdrücke an einen Rechendienst zu senden. Arbeit wird nicht zwischen Besuchen gespeichert. Das gemeinsame Sprachmenü warnt vor dem Wechsel, da die Navigation die Rechnung zurücksetzt.
Häufige Fragen
Warum ist mein Quotient null?
Hat der Dividend einen kleineren Grad als der Divisor, entsteht kein weiterer Polynomterm. Der Quotient ist null und der gesamte Dividend bildet den Rest. Ein Dividend von null ergibt bei jedem nicht verschwindenden Divisor ebenfalls Quotient und Rest null.
Darf der Divisor eine Konstante sein?
Ja, jede rationale Konstante ungleich null ist zulässig. Jeder Koeffizient wird durch diese Konstante geteilt; der Rest ist null. Ein konstanter Divisor hat Grad null.
Bedeutet Rest null, dass der Divisor ein Faktor ist?
Ja. Dann gilt Dividend = Divisor × Quotient. Bei einem linearen Divisor x - c entspricht der Rest außerdem dem Wert des Dividenden an der Stelle c. Dieser Restsatz bietet eine unabhängige Probe für diesen Sonderfall.
Ist das synthetische Division?
Nein. Für jeden unterstützten Divisor wird die Polynomdivision verwendet, auch für quadratische und höhergradige Polynome. Es gibt keine Tabelle zur synthetischen Division und keine Nullstellensuche.
Was bestätigt die geprüfte Identität?
Alle Koeffizienten von Dividend = Divisor × Quotient + Rest werden mit exakten Brüchen geprüft. Die Identität gilt für jedes x. Der Ausdruck Dividend/Divisor ist nur dort definiert, wo der Divisor nicht null wird. Kürzen hebt diese ursprüngliche Einschränkung nicht auf.