Anleitung
- Trage die x-, y- und z-Koordinate von P ein.
- Trage a, b, c, d für ax + by + cz + d = 0 ein. Bringe vorher alle Terme auf die linke Seite.
- Berechne und vergleiche P mit dem Lotfußpunkt H in der Zeichnung.
Verwende für alle Koordinaten dieselbe Längeneinheit. Eine andere Einheitenbeschriftung rechnet die Zahlen nicht um. Zahlen wie 1e-4 sind erlaubt, algebraische Ausdrücke nicht.
Die Zeichnung aktualisiert sich, sobald die Eingaben eine gültige Geometrie beschreiben. Bei fehlenden oder ungültigen Werten bleibt sie bis zur vollständigen Eingabe ausgeblendet. Änderungen löschen das bisherige Zahlenergebnis und deaktivieren Ergebnis kopieren. Berechnen bestätigt die aktuellen Werte zum Kopieren als Text. Leeren entfernt Zahlen und behält die Auswahl bei.
Formel und Bedeutung
Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Ebene und ist parallel zur Normalen n = (a, b, c). Der Betrag des Ebenenausdrucks an P, geteilt durch die Länge der Normalen, ergibt den nicht negativen Abstand. H liegt am nächsten zu P.
D = |aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d| / √(a² + b² + c²). H = P − [(aPₓ + bPᵧ + cP𝓏 + d)/(a² + b² + c²)](a,b,c).
Rechenbeispiel
Für P = (2, 3, 7) und z − 2 = 0 gilt a = 0, b = 0, c = 1, d = −2. H = (2, 3, 2), der Abstand beträgt 5 Einheiten. Die gestrichelte Strecke verbindet P und H.
Für die geneigte Ebene x + 2y + 2z − 3 = 0 und P = (1, 2, 3) sind Zähler 8 und Normalenlänge 3. Der Abstand ist 8/3 ≈ 2,67 Einheiten, H = (1/9, 2/9, 11/9). Die angezeigten Koordinaten sind gerundet; für eine genaue Einsetzprüfung werden ungerundete Werte benötigt.
Anwendung und Grenzen
Geeignet für Koordinatengeometrie und Abstände zu ideal ebenen Flächen. Der Abstand zu einem begrenzten Dreieck ist eine andere Aufgabe: H kann außerhalb des Dreiecks liegen.
Die Berechnung nutzt Gleitkommazahlen. Übliche Ergebnisse haben bis zu zwei Nachkommastellen; kleine Werte ungleich null erscheinen wissenschaftlich. Gleichungen zeigen bis zu 12 signifikante Stellen und können gerundet sein. Erlaubt sind null oder Beträge von 10⁻⁹ bis 10⁹; Ergebnisse sind auf 10¹⁵ begrenzt.
Die orthografische Zeichnung passt sich der Geometrie an. Nicht alle Winkel und Längen bleiben auf dem Bildschirm erhalten. Die kleinen Achsen zeigen die Orientierung, nicht den Ursprung. Koordinaten und Abstände stehen im Ergebnis.
Häufige Fragen
Wann ist der Abstand null?
Wenn P bereits auf der Ebene liegt. Dann fallen P und H zusammen.
Ändert ein gemeinsamer Faktor das Ergebnis?
Nein. Alle vier Koeffizienten mit derselben Zahl ungleich null zu multiplizieren, lässt Ebene und Abstand unverändert. Ein einzelner geänderter Koeffizient tut das meist nicht.
Warum wird die Nullnormale abgelehnt?
Mit a = b = c = 0 lässt sich keine eindeutige Ebene angeben. Mindestens eine Komponente muss ungleich null sein.
Wie verwende ich die kopierten Zahlen?
Füge sie als Rechenkontrolle in Notizen oder Aufgaben ein und bewahre Einheit und ursprüngliche Eingaben auf. Gerundete Koordinaten sind keine exakten symbolischen Werte. Wird eine Berechnung wegen Genauigkeitsproblemen abgelehnt, verschiebe oder skaliere die Koordinaten. Ein leeres Ergebnis bedeutet nicht null.