Rechner für Matrixdiagonalisierung
P, D und P⁻¹ einer reellen 2×2-Matrix berechnen und A = PDP⁻¹ prüfen.
Ergebnis
Berechnen, um das Ergebnis zu sehen.
Anleitung
- Vier Einträge zeilenweise eingeben. Das Beispiel [4, 1; 0, 2] lässt sich sofort berechnen.
- Berechnen liefert die Eigenvektorbasis P und die passende Diagonalmatrix D. Die Eigenvektoren stehen in den Spalten von P.
- Rekonstruktion und Restfehler prüfen. Kopieren enthält alle Matrizen und Prüfwerte. Änderungen verwerfen das bisherige Ergebnis.
Rechenbeispiel
Für A = [4, 1; 0, 2] sind die Eigenwerte 4 und 2. Möglich sind P = [1, −1/√5; 0, 2/√5] und D = [4, 0; 0, 2]. PDP⁻¹ ergibt wieder A.
Grenzen und Auswertung
Für symmetrische und nichtsymmetrische reelle 2×2-Matrizen. Die Diskriminante wird für zulässige Dezimalzahlen exakt klassifiziert; P und P⁻¹ werden mit Gleitkommazahlen berechnet. Angezeigte Rundungen können beim Nachrechnen größere Restfehler erzeugen. Relative Fehler verwenden die Unendlichnorm. Bei κ∞(P) über 10⁸ oder Prüfabweichungen über 10⁻⁸ wird keine Zerlegung ausgegeben.
Häufige Fragen
Verhindert ein doppelter Eigenwert immer die Diagonalisierung?
Nein. Für λI gilt P = I. Eine nichtskalare 2×2-Matrix mit doppeltem Eigenwert ist dagegen nicht diagonalisierbar. Beispiel: [2, 1; 0, 2].
Warum kann P anders aussehen?
Eigenvektoren lassen sich skalieren, umkehren und vertauschen. D muss zur Spaltenreihenfolge von P passen.
Werden 3×3- oder komplexe Matrizen unterstützt?
Nein. Eine negative Diskriminante bedeutet keine reelle Diagonalisierung. Eine komplexe Zerlegung kann existieren, wird hier aber nicht berechnet.