Anleitung
- Wähle die Anzahl der Eckpunkte und trage X und Y getrennt je Zeile in Randreihenfolge ein. Trennzeichen sind nicht nötig.
- Wähle eine gemeinsame Einheit. Negative Werte und Dezimalpunkt oder Dezimalkomma sind erlaubt, Tausendertrennzeichen nicht.
- Berechne und prüfe den nummerierten Rand. Der letzte Punkt wird automatisch mit dem ersten verbunden.
Die Anzahl fügt am Ende Zeilen hinzu oder entfernt sie. Werte entfernter Zeilen bleiben bis zum Leeren gespeichert. Beispiele nennen die Punkte in Randreihenfolge.
Die Zeichnung aktualisiert sich, sobald die Eingaben eine gültige Geometrie beschreiben. Bei fehlenden oder ungültigen Werten bleibt sie bis zur vollständigen Eingabe ausgeblendet. Änderungen löschen das bisherige Zahlenergebnis und deaktivieren Ergebnis kopieren. Berechnen bestätigt die aktuellen Werte zum Kopieren als Text. Leeren entfernt Zahlen und behält die Auswahl bei.
Formel und Bedeutung
Die Gaußsche Trapezformel, auch Schnürsenkelformel, summiert vorzeichenbehaftete Beiträge aufeinanderfolgender Punktpaare einschließlich der Schlusskante. Der Betrag ergibt die Fläche. Der Umfang ist die Summe der geraden Kantenlängen. Konkave Ecken bleiben erhalten; es wird keine konvexe Hülle gebildet.
A = ½ |Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|
L = Σ √((xᵢ₊₁ − xᵢ)² + (yᵢ₊₁ − yᵢ)²)
(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)
Rechenbeispiel
Rechteck: 0 0; 4 0; 4 3; 0 3 ergibt Fläche 12 und Umfang 14. Bei Metern sind es 12 m² und 14 m. Die vollständig umgekehrte Reihenfolge ergibt dieselben Maße.
Dreieck: 0 0; 4 0; 0 3 ergibt Fläche 6 und Umfang 12. Die Seiten sind 4, 5 und 3 lang; die Schlusskante zählt auch ohne erneutes 0 0.
Konkave Form: 0 0; 4 0; 4 3; 2 1; 0 3 ergibt Fläche 8 und Umfang 10 + 4√2 ≈ 15,66. Die Einbuchtung entfernt ein Dreieck der Fläche 4 aus einem 4-mal-3-Rechteck.
Anwendung und Grenzen
Für Koordinatengeometrie, ebene Zuschnitte und einfache Pläne mit bekannten kartesischen Koordinaten. Fehlende Ecken werden nicht ergänzt und Punkte nicht umsortiert. Seitenlängen allein reichen nicht aus. Löcher, getrennte Ränder, Kurven, geografische Koordinaten, Karten, CAD und Dateien werden nicht unterstützt. Erlaubt ist ein einfacher Rand mit 3–30 Punkten.
Gleitkommarechnung mit verschobenen und skalierten Koordinaten reduziert Auslöschung. Übliche Ergebnisse haben bis zu zwei Nachkommastellen, kleine Werte ungleich null wissenschaftliche Schreibweise. Eingaben: null oder Beträge von 10⁻⁹ bis 10⁹; Ergebnisse höchstens 10¹⁵. Kanten unter 10⁻¹⁰ der Gesamtausdehnung, fast verschwindende Flächen und fast berührende Ränder können numerisch unklar sein und werden gegebenenfalls abgelehnt.
Häufige Fragen
Muss der erste Punkt am Ende wiederholt werden?
Nein, es ist optional. Ein identischer Schlusspunkt wird vor dem Zählen und Messen entfernt. Andere Wiederholungen werden abgelehnt.
Gehen beide Umlaufrichtungen?
Ja. Die gesamte Reihenfolge umzukehren verändert den Rand nicht. Nur einige Punkte umzusortieren kann eine andere Form oder Kreuzung erzeugen.
Warum wird eine Schmetterlingsform abgelehnt?
Ein gekreuzter Rand besitzt nicht das hier vorausgesetzte einfache Innere. Prüfe die Reihenfolge. Das Werkzeug errät keine Ersatzform.
Sind negative Koordinaten erlaubt?
Ja. Alle Punkte gleich zu verschieben lässt Fläche und Umfang unverändert. Die Zeichnung verwendet horizontal und vertikal denselben Maßstab.