Bedienung
Die hypergeometrische Verteilung zählt Erfolge in einer zufälligen Stichprobe fester Größe ohne Zurücklegen. Sie passt zu Urnen-, Karten- und endlichen Stichprobenaufgaben. Erfolg bezeichnet die gezählte Kategorie und muss nichts Positives bedeuten.
- Gib ganze Zahlen für N, K, n und k ein und wähle das zu markierende Ereignis. Keine Tausendertrennzeichen verwenden.
- Wähle Berechnen oder drücke Enter. Lies das Ergebnis zusammen mit Diagramm und Detailtabelle.
- Ergebnis kopieren übernimmt bestätigte Zahlen als Text. Bearbeiten entfernt das bisherige Ergebnis und den Kopierstatus, während das Diagramm gültige aktuelle Eingaben zeigt. Leeren entfernt Eingaben, Ergebnisse und Grafik, ohne das Beispiel wiederherzustellen.
Berechnungsmethode
N ist der Gesamtumfang, K die Zahl der Erfolgsobjekte, n die Stichprobengröße und k die gesuchte Erfolgszahl. P(X = k) = C(K,k) × C(N−K,n−k) / C(N,n). Möglich sind max(0,n−(N−K)) bis min(n,K). Außerhalb dieses Bereichs ist die Einzelwahrscheinlichkeit null.
Höchstens k schließt k ein; mehr als k schließt k aus. Die Auswahl markiert die entsprechenden Balken gelb. Diagramm, Tabelle und Ergebnisse verwenden dieselbe Verteilung. Logarithmische Nachbargewichte vermeiden Fakultätsüberläufe, kleine Wahrscheinlichkeiten erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise.
Beispiele
N = 10, K = 4, n = 3, k = 2: 120 gleich wahrscheinliche Stichproben, davon 36 mit zwei Erfolgen. P(X = 2) = 0,3; P(X ≤ 2) = 116/120 ≈ 0,96666667 und P(X > 2) = 4/120 ≈ 0,03333333.
N = 5, K = 5, n = 2, k = 2: Alle Objekte sind Erfolge. Nur 2 ist möglich, mit Wahrscheinlichkeit 1 und Varianz 0. Mehr als 2 hat Wahrscheinlichkeit 0.
Anwendung und Grenzen
Nur ganze Zahlen: 0 ≤ K ≤ N ≤ 10.000 und 0 ≤ k ≤ n ≤ min(N,200). So bleiben alle möglichen Werte im Diagramm und in der Tabelle enthalten. N = 0 setzt K = n = k = 0 voraus und beschreibt die leere Stichprobe. Bei N = 1 oder deterministischen Ergebnissen ist die Varianz null.
Alle Stichproben gleicher Größe müssen gleich wahrscheinlich sein. Mit Zurücklegen kann stattdessen ein Binomialmodell passen. Der Rechner dient dem Lernen und garantiert keine reale Entscheidung. Werte nahe eins können zu eins gerundet werden; die Gegenwahrscheinlichkeit wird separat berechnet.
Häufige Fragen
Warum kann ein zulässiges k Wahrscheinlichkeit null haben?
Es fehlen möglicherweise genügend Erfolgs- oder Misserfolgsobjekte. Der angezeigte Wertebereich nennt die tatsächlich möglichen Anzahlen.
Schließt mehr als k den Wert k ein?
Nein. X > k und X ≤ k ergänzen sich vor Rundung zu eins.
Muss der Erwartungswert ganzzahlig sein?
Nein. nK/N ist ein Durchschnitt vieler Stichproben. Einzelne beobachtete Erfolgszahlen sind dagegen ganzzahlig.
Werden winzige Wahrscheinlichkeiten kopiert?
Ja, einschließlich vollständiger Tabelle und derselben Schreibweise. Die logarithmische Berechnung erhält auch Werte, die als gewöhnliche Dezimalzahlen unterlaufen würden.