So funktioniert der Rechner
- X und die zugehörigen positiven Y-Werte in derselben Reihenfolge eingeben. Einheiten einheitlich halten; Überschriften und Einheitensymbole weglassen.
- Werte mit Leerzeichen, Kommas oder Semikolons trennen. Dezimalpunkt verwenden, auch bei deutscher Ergebnisanzeige. Schreibweisen wie 2e-3 sind erlaubt.
- Berechnen wählen. Zuerst erscheint die Gleichung, danach a, b, Paarzahl und Quadratsumme im Lograum. Punkte und Kurve gemeinsam prüfen.
- Ergebnisse kopieren übernimmt die Zusammenfassung als Text. Jede Eingabeänderung entfernt das bestätigte Ergebnis und deaktiviert Kopieren. Leeren entfernt Felder, Fehler, Ergebnis und Diagramm; nichts wird hochgeladen oder gespeichert.
Formel und Bedeutung
Das Modell lautet y = a·exp(bx), wobei a positiv ist. Der natürliche Logarithmus ergibt ln(y) = ln(a) + bx. Für (x, ln(y)) wird eine lineare Kleinste-Quadrate-Regression berechnet: Achsenabschnitt ln(a) wird exponentiert, die Steigung ist b.
Die angezeigte SSE ist Σ[ln(yᵢ) − ln(ŷᵢ)]². Sie misst die Abweichung auf logarithmischer Skala im selben Datensatz. Sie ist nicht Σ(yᵢ − ŷᵢ)² auf Originalskala und darf nicht als direkte nichtlineare Anpassung verstanden werden.
Bei x = 0 ist der Modellwert a. Positives b bedeutet Wachstum, negatives b Abnahme und b = 0 eine konstante Kurve. Intern und im Diagramm bleiben ungerundete Werte erhalten; nur die Anzeige wird gerundet.
Rechenbeispiele
Exakte Verdopplung
Für X = 0, 1, 2 und Y = 1, 2, 4 ergibt sich a = 1 und b = ln(2) ≈ 0,69314718. Die Kurve trifft alle Punkte; die Log-SSE ist bis auf Gleitkommaeffekte 0.
Konstante Antwort
Für X = −2, 0, 5 und Y = 3, 3, 3 gilt b = 0 und a = 3, also y = 3. Das Umordnen vollständiger Paare ändert nichts.
Einsatz, Grenzen und Fehler
Geeignet ist die Anpassung zur Untersuchung multiplikativen Wachstums oder Zerfalls, wenn ein loglineares Modell sinnvoll ist. Sie ist beschreibend und liefert weder Kausalitätsbeleg noch p-Werte, Intervalle, automatische Prognosen oder Entscheidungen.
Erforderlich sind 2–200 gleich lange Paare, endliche Zahlen, positive Y und mindestens zwei verschiedene X. Nichtnullbeträge liegen zwischen 1e-100 und 1e100. Werden X-Werte wegen eines großen Offsets ununterscheidbar, einen gemeinsamen Ursprung abziehen oder Einheiten wechseln.
Auch endliche Eingaben können undarstellbare Koeffizienten, Punkte oder Koordinaten erzeugen. Dann erscheint ein Zahlenbereichsfehler statt Infinity, Unterlaufnull oder irreführender Kurve. Kopiert wird nur Text; kein Datei- oder Bildexport, Konto, API, Datenbank oder Verlauf.
Häufige Fragen
Warum muss Y positiv sein?
Der verwendete natürliche Logarithmus ist für reelle Werte hier nur bei positivem Y definiert.
Ist das nichtlineare Kleinste Quadrate?
Nein. Minimiert werden Residuen von ln(Y); eine direkte Anpassung in Y hat ein anderes Ziel.
Was bedeutet b?
Je zusätzlicher X-Einheit wird der angepasste Wert mit exp(b) multipliziert.
Warum ändert die Einheit a?
a ist der Modellwert bei x = 0. Eine Verschiebung des X-Ursprungs ändert deshalb a.
Spielt die Reihenfolge eine Rolle?
Nein, solange jedes vollständige X-Y-Paar zusammenbleibt.
Wie nutze ich die Kopie?
Gleichung und Koeffizienten mit dem Hinweis auf die Log-SSE übernehmen und Originaldaten samt Einheiten aufbewahren.